共轭A 调和张量的局部A r 3 1 2 双权Poincar 不等式.doc

共轭A_调和张量的局部A_r_3_1_2_双权Poincar_不等式()文章编号:1674-0262200704-0121-04A2调和张量的共轭λ3(λλΩ)局部A,,双权Poincar不等式r12安敏,佟玉霞,谷建涛()河北理工大学理学院,河北唐山063009关键词:A2调和方程;双权;Poincar不等式;拟正则映射λ3(λλΩ)摘要:首先定义了A,,2权,进而得到微分形式的双权Poincar不等式。最r12后,给出上述结论在拟正则映射中的应用。中图分类号:O175125文献标识码:A0引言n近年来许多关于Sobolev函数的结果已经推广到R空间中的微分形式。关于微分形式的结论已应用到[123]许多领域,如位势理论、拟正则映射、弹性理论上。丁树森、P1Shi和包革军研究了一系列加权函数[426]并得到了一些基本性质。本文首先证明微分形式的双权Poincar不等式,其结果可用来研究A2调和方程及其积分估计。最后给出上述结论在拟正则映射中的应用。n(=0,1,l设e,e,,e是R中的标准单位基,对,n,相应于所有的有序l2重,I=i,i,12n12lln)(),i,1?i<i<<i?n。用?=?R表示由外积e=e?e?e所生成的L2维线性向量空l12lIiii12l1间。记R=R。l()Grassman代数?=?是关于外积的分次代数。对所有的l2重I=i,i,0,i,所有整数l=12lIIIIβ)βαα(ααββ0,1,,n,=?e??和=?e??,?中的内积由,=?定义。算子3:???IIββαβ()ααβαα定义为:对所有,??,1=e?e??e且?3=?3=〈,〉31。对??,其范312n2ln-l0ααα数为||=〈,〉=3((αα)???,3:33-?3??=R。算子3在?上等距同构,()ln-lll)1:???。n(ρρ)Ωρ设是R中的连通开子集,并用B表示球,B表示与B同心且直径为diamB=diamB的球。n1n()本文中B也可用来表示立方体。E表示集合EΑR的n维Lebesgue测度。如果w?LR和w>0,locμa1e1,则称w是一个权,一般地d=wdx。设0<p<?,用1/pαpα‖f‖=wdxp,E,w()fxE?pα来表示E上的可测函数f的加权L范数,其中为一实数。lnΩ()ωΩ微分形式是实函数和广义函数的重要推广。上的微分l2形即为上的取值于?R中的′l(Ω)ΩSchwart分布。特别地,当l=0时为实函数。记D,?为所有微分l2形所生成的空间。若对所有ppl()ω(Ω)(Ω)()ω()ωω有序的l2重I,?L,R,记L,?为所有l2形x=?xdx=?xIII1i,i,i12lpl(Ω)dx?dx??dx所生成之空间。从而L,?是具有范数iii12l收稿日期:2006207226()基金项目:河北理工大学科学研究基金资助200520()122河北理工大学学报自然科学版第29卷1/p1/pp/22dxω()xI?Ω?Ωωωω9′l99′l(Ω)()(Ω),,ωω?D,?。的Banach空间。对?D,?,V=,9x9x9x1ni1,pl1,p1,p)Ω)(Ω(ΩW,?是上且系数在W类似的,,R里的所有微分l2形生成之空间。记号W1,pl1,plp(Ω)(Ω)(Ω)和W,R,?的意义易从上述推知。W,?用来定义sobolev空间的l2形,属于Llpl(Ω)(Ω),??L,?,范数1-1(Ω)ωωωω‖‖p=‖‖pl=diam‖‖+‖V‖1,1,(Ω)(Ω)ΩΩWW,?p,p,1,pl()(Ω)Ωω对0<p<?和权函数wx,在上的加权范数?W,?由下式定义:-1(Ω)ωωωωαα‖‖+‖V‖αα‖‖1,p=‖‖1,pl=diamΩΩ(Ω)(Ω)p,,wp,,wW,wW,?,wl+1l)(Ω)(Ωα?其中为实数,d:D′,??D′,定义,其中l=0,1,,n。其形式伴随算外微分由3nl+1l+1ll+13(Ω())(Ω)(Ω)子d:D′,-133,d??D′,?,在D′,?=l=0,上定义为其中d1,,n。考虑如下A2调和方程的微分形式3(ω)()dAx,d=01lnlnΩ()()其中A:×?R??R满足p-1α()?2ξξ)(Ax,和pξ)ξ()(〈Ax,,〉?3ξln的解()ξ()()Ω其中x?,a1e1,??R,常数a>0,1<p<?为与方程1有关的固定参数。方程1l-11l-11(Ω,))φ(Ω?,对所有具有紧支集的?W?,属于Sobolev空间W,满足p,locp(ω)φ〈Ax,d,d〉=0Ω?()Ω定义1若u满足A2调和方程1,则称u为中的A2调和张量。l(Ω)Ω?,在上满足du=0,则称u为闭下面介绍关于调和张量的基本术语。若微分l2形u?D′,p-233)dududd(形式。若u=0,则称u