关于圆外切闭折线的一个性质.doc

关于圆外切闭折线的一个性质=AOAIM+AOMN+AONAx+l+AOAx+l4+2关于圆外切闭折线的一个性质’+?4+?+AOA~A3+..?+AOAkN+AONM,赣南帅范学院数学计算机系曾建困对于三角形,下面的结论是熟知的[11:[11:命题2平分圆外切多边形的,}吉=,…表示闭折线4以…4的有向面积【2】,AABC表示?…4有内切圆o(,,),,?分别是边I2,Ak+l(1<kn,为A1)上的点,若线段MN(不考虑MN与其他边的交点)半分闭折线的剧长和有向面积,则卣线MN必经过内心注这里所说的”线段MN平分闭折线的有向面积”是指闭折线A~MNAAk+…4与朋A3…NM的有向面积(以下分别简记为?,?)相等,即AS,=?.:引理1【对于闭折线4……A=XOA,4+,其中AAAA为4.…+,,…4的边A,,4+(1<kn,且+为4)上分别取一点,?则??4…4-=?4MNAk+.Ak+2…4+…,在平面内任取一点D,由引理1知AAMNAk+.Ak+2…4+…NM根据三角形的有向面积的定义[21知AOMN=-AONM,又在边44上,则有AO.~M+AOMA~=AOAl,同理有AOAxN+AONAx+l=AOAx故MNAk+.Ak+2…4+…NM:AOAl+?0+…+AOAA,=AA,…,Jv分别为顶点4,4,即得I引理3在闭折线4…4中引对角线(2<k<n),则有AA…4=?4…4+?4+…:山文[2】知,若点P到直线AB的有向距离为则APAB=去fABf---d二而且,若点P在所指方向的左侧时,d>O,则此时有>,且内心在其同侧域内[,不妨设方向…4,4依逆时针方向,则l闭折线的内心,均在各边的左侧,则~Xt,4,4”>0(l,2,…,,+为4).因此有一1A/A~4+,=,.连接IM,IN,根据引理1知AAIM1NAk+lAk+2…A.(记为)=AIAlM+AINAx+l+AIAk+lAk+2+…+?17?=(14Ml+INAk+.I+I4+.4+:I+…+I4I4I)?,-=,I?,-(这里,I表示上式中括号内的值)同理,…NIM(iZY~;)={(II+Il+.一依题设,MN平分闭折线4…4-4的周长,即有,I=f2,则aS:=.…4-~hSl=z~=?4…4-A.,由引理2知=1+,.1=}&+.4+2…4-4的对角线,根据引理3知?s?sl+Zk/NM,=+.将上述两个等式相加,并注意到删=?s+?sz0=?sL+?sz=?s前面已证明=0,则有?S|2=l,即+Zk/NM=.因此z~/NM=0,即Jr,?