关于无穷远元素和射影平面.doc

引言在欧氏平面上,通过引入无穷远元素扩充欧氏平面的方法给出射影平面的概念。,是共面二直线,点是此平面内与外任一点。若与上任一点之连线交于。则我们定义:定义1叫做点从投影到上的中心射影下的对应点。叫做投射线,叫做投射中心,简称射心。              图(1)显然也是在上以为射心的中心射影下的对应点。取不同的射心,就得到不同的中心射影。如果与相交与点,则位自对应点,如图(1)在欧氏平面上,中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。如果上的一点使平行于,则的对应点将不存在。同样在上也有一点,使平行于,所以在上的对应点也不存在。我们将与分别称为与上的影消点。,点是平面外一点,若与上任一点之连线交与。则我们定义:图(2)定义2叫做点从投影到平面的中心射影下的对应点。叫做投射线,叫做投射中心,简称射心。显然也是在上以为射心的中心射影下的对应点。可以看出在中心射影下平面内的一直线对应平面上的直线。图(2)当与相交时,其交线为自对应直线,其上的每一点都是自对应点。同样,平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。如图(2),如果平面上的一点与的连线平行于平面,那么在上的对应点便不存在,我们也称点为影消点。若通过作与平行的平面交平面于直线。则直线在上的对应直线也不存在,我们称直线为影消线。类似的可以定义平面上的影消点与影消线。显然,影消点的轨迹是影消线。,我们必须将欧氏平面加以扩拓广。所以我们引进了无穷远元素。为此约定,这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。约定— 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点,此点在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。无穷远点记以,为区别起见,平面上原有的点称非无穷远点或普通点。由此可以证明空间里的一组平行线只有一公共点,即这组直线上的无穷远点。一平面内直线的方向有无穷多,所以平面内的无穷远点也有无穷多,由于每一点直线上只有一个无穷远点,所以平面上无穷远点的轨迹应该与此平面上每一条直线只有一个交点,因此约定:约定二 一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线。无穷远直线记作,为区别起见,平面内原有的直线叫做非无穷远直线或普通直线。无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线。空间里有无数多个方向,因此有无数多个无穷远点,这些无穷远点的轨迹与每个平面既然相交于一条无穷远直线,因此约定:约定三 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷远平面。无穷远平面可记以,为了区别起见,空间里的原有平面叫做非无穷远平面或普通平面。定义3无穷远点,无穷远直线,无穷远平面统称为无穷远元素。平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。,便得到一条新直线,我们将它叫做仿射直线。图(3)图3是仿射直线的模型。同样地,将此概念加以推广即可得到仿射平面的概念。定义5欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。图4是欧氏空间中的仿射平面的模型。图(4)设有以为球心的球面,过球心作平面交球面于大圆,我们规定:半球面为仿射平面,大圆上的点为无穷远点,且通过的大圆的每一直径的两个端点当作一个无穷远点,半球面上的其它点为非无穷远点。大圆为无穷远直线。半球面上的大圆孤为普通直线,相交于上同一点的半大圆孤就是平行直线。如果平面与半球面相切,且平面与平面平行,就可以建立上的点与平面上的点之间的一一对应。设为上的任一点,直线交与,令对应为,则是的点与平面的点之间的一一对应,这个一一对应使得大圆(即上的无穷远直线)对应上的无穷远直线。