3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

及其坐标表示复****回顾复****1:平面向量基本定理:对平面上的任意一个向量,是平面上两个向量,总是存在实数对,使得向量可以用来表示,表达式为,,:平面向量的坐标表示:平面直角坐标系中,分别取x轴和y轴上的向量作为基底,对平面上任意向量,有且只有一对实数x,y,使得,,则称有序对为向量的,即=.单位坐标由平面向量基本定理知,平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,对于空间的任意一个向量,有没有类似的结论呢?如图,设i,j,k是空间三个两两垂直的向量,且有公共起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影,由平面基本定理可知,在OQ,k所确定的平面上,存在实数z,使得OP=OQ+zk,而在i,j所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序之前数对(x,y),使得OQ=xi+=OQ+zk=xi+yj+、空间向量基本定理:xyzkijQPO如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量,对空间任一个向量p,存在一个有序实数组使得p=xi+yj+,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。思考:在空间中,如果用任意三个不共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得到类似的结论吗?空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量。思考:空间任意一个向量的基底有多少个呢?无数个二、空间直角坐标系单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用i,j,k表示空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k。以点O为原点,分别以i、j、k的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,--xyz点O叫做原点,向量I、j、。在空间直角坐标系O--xyz中,对空间任一点,P,对应一个向量OP,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使OP=xi+yj+zk在单位正交基底i,j,k中与向量OP对应的有序实数组(x,y,z),叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z),其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,,给出下列向量组②③④,其中可以作为空间的基底的向量组有():能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设,易判断出答案C例题讲解: