无限大平板含扁椭圆孔的问题.doc

,曲线坐标中的复势、应力和位移如果是解析函数,并且,我们利用关系式,(,),'(,),0(A2-1)z,,(,)(,总可以把z平面上形状复杂而不易求解的单连域S界为L),通过一个正则函数,映射为平面(数学平面)上的另一条形状较为简单的曲线,从而,,.在平面上每给定一点,,x,iy,,,,i,,z,,(,)这样,在平面上每给定一根曲线,z平面必有一根对应的曲线(图A2-1).在相应的两曲线上各截,取相应的一小段()和(),则有,,,,Δ,z,z,ΔzΔd|Δ|zzzi(argΔz,argΔ,).(A2-2)lim,,limeΔ,0Δ,0,,,,,Δd|Δ|图A2-1其中ΔzargΔz和argΔ,分别为和Δ,(A2-1),有.(A2-3)dz,,'(,)d,由(A2-2),dz|Δz|i(argΔz,argΔ,)i,,,.(A2-4)'(),,lime,JeΔ,0,,,d|Δ|式中,.J,|,z|/|,,|,,argΔz,argΔ,-10-可以看出,J和,的物理意义分别如下:J是保角变换时,z平面上微元线段变换为平面上线,是表示z平面上微元线段变换到平面上微元线段时旋转的角段的尺寸放大(或缩小)系数;而,,,皆是点的函数,,J和,,即为曲线,,,(,,,)const的切线(向着增加的方向)与z平面x轴之间的夹角(此时),而曲线constargΔ,,0,,,,,的切线(向着增加的方向),,,,,,,π/2的微元线段和有dsds,,,.ds,Jd,ds,Jd,,,这样便建立了对应于z平面上各点的曲线坐标(梁昆淼,1978).(,,,),i,由(A2-4)得到,因此,'(,),Je,,'()2i,.(A2-5)e,,'(,)利用局部坐标变换,得到曲线坐标中各应力分量与直角坐标中应力分量的关系,,,,,,,,,,,,,,xxyy,,2i,,,,,,2i[2i]e,(A2-6),,,,,,,,,,,,yyxxxy,i,,2,(uiu)2,(uiu)e.,,,xy,,,(1945),,,,定义为,.z,x,iy,,,,i,,c,ch,,c,ch,cos,,ic,sh,sin,由此得出,,,,ch,cos,xc,(a),y,c,sh,,sin,.,坐标为常数,,,,,0-11-22xy.,,122ab或写成参数方程为,.y,bsin,x,acos,,则应有若椭圆的半径给出为a和b,.(b)a,c,ch,b,c,sh,,,,,,,,,任一椭圆上一点就绕椭圆一周(此时,2π=const).根据式(a),任意给定一对参数和,在平面中就对应一个点,因此也称、为,,,xoy,,平面上点