李明波分拆.doc

李明波分拆郝锡鹏提要 2008年11月,李明波发现:分母为非素数幂型合数的既约分数,可以分拆成分母较小分数的代数和。该发现可以用来给出将复杂实数表为较为简单分数代数和的近似公式。一 对天才的赞叹印度传奇数学家拉马努金(,1887-1920)曾给出公式:(1)它们与的误差为。李明波在为这位数学天才的洞察力赞叹!同时,他又觉得(1)式有些美中不足,因为其中含有小数。为了消除(1)式中的小数,李明波将它改写成了(2)李明波并没有就此止步,继续在思考:能否让(2)式给人的感觉再轻松一些呢?比如说,根据(2)式右侧的分母特征,可以试验性地假设(3)整理可得(4) 解该不定方程得解之一:,,。就这样,拉马努金的(1)式,被李明波用灵感改写成了(5)李明波的(5)式显然要比拉马努金的(1)式技高一筹,因为它所牵涉的仅仅是一些分数的代数和。二 灵机一动的发现李明波对此通过进一步的研究得到如下结果:定理1 设(,)=1,、,则不定方程(6)有最小解的充要条件是和。证明 首先,若(6)式有整数解则显然应有最小解;若(6)式无最小解则显然也整数无解。必要性:由(7)和、最小可知;若,由(8)可知|,而由可知|,故,但这与前提矛盾,所以应有。充分性:由线形不定方程的基本理论可知若,则(8)式显然有解,再由知将(8)式两面同除以便得(6)式,从而知(6)式有解。证毕。定理2 设(,)=1,、、,则不定方程(9)有最小解的充要条件是和。证明 同样,若(9)式有整数解则显然应有最小解;若(9)式无最小解则显然也无整数解。必要性:由(10)和、最小可知;若,由(11)可知|,而由可知|,故,但这与前提矛盾,所以应有,同理可证及。充分性:若,则,,,由线形不定方程的基本理论可知,若,则(11)式显然有解,再由知将(11)式两面同除以便得(9)式,从而知(9)式有解。证毕。定理3 设(,)=1,、为素数,则不能被分拆成2个或3个分母均大于1小于的分数的代数和。该定理的证明极易用定理1和定理2完成,故在此从略。对于时,可以认为是人们经常研究的将整数分拆成整数的常规情况,故在此不予讨论。对于把分拆成更多个分母均小于的分数的代数和,李明波认为也应该有与上述相类似的结果。李明波化做小草,灿烂在天涯海角三 更为一般的结果欣喜之余的李明波将上节结果进行推广,得定理4 设,,则不定方程(12)有最小解的充要条件是和两两互素,。定理5 设,、为素数,则不能被分拆成若干个分母均大于1小于的分数的代数和。这两个定理的证明与上节的同理,故在此从略。四 片刀初试李明波对分数的分拆理论,好象一把柔中带刚的片刀,剃肉似地将一些复杂分数刮分成了若干块相对简单的分数。李明波用表示实数的第个渐近分数,1 对的分拆根据的第5个渐近分数(13)