随机过程及其在金融领域中的应用课后答案.doc

****题二::设为X取值为k(1k≥的随机变量。且(kppxk==证法I(通俗证法,但不严格:111(((12(23(3...(...(1(2(3...(...(kkkkkExxpkpxkpxpxpxnpxnpxpxpxpxnpxk∞∞==∞======+=+=+=+=≥+≥+≥+≥+=≥∑∑∑证法II:111111(((((kkkiikiikEXkpxkpxkpxkpxipxk∞∞∞∞∞======∞========≥=≥∑∑∑∑∑∑∑证法III:1111111(((((1((1(1(1(1(1(kkkkkkkEXkpxkkpXkpxkkpxkkpxkpxkpkpxkpxk∞∞==∞∞∞===∞∞=====≥-≥+=≥-+≥++≥+==+≥+=≥∑∑∑∑∑∑∑:(10(10(((1111axaxaxxxaaxEYEeefxdxeedxedxdeaa+∞+∞+∞---∞+∞-======--⎰⎰⎰⎰:边缘概率密度为:12021202,01((,603,01((,60,XYxxfxfxydyxydyyyfyfxydxxydx+∞-∞+∞-∞<<⎧===⎨⎩⎧<<===⎨⎩⎰⎰⎰⎰其它其它因为(,((fxyfxfy=所以X,Y独立。故cov(,cov(,0XYYX==11223001132400222221((2(23233((3(34513cov(,(((cov(,(((1880EXxfxdxxdxEXxdxEYyfydyydyEYydyXXEXEXYYEYEY+∞-∞+∞-∞===========-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故(,XY的协方差矩阵为10cov(,cov(,18cov(,cov(,3080XXXYYXYY⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦:(122121210,1,4,2μμσσρ=====将各参数代入二维正态分布密度函数,最终得:22211(,324fxyxxyy⎧⎫⎡⎤=--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(21cov(,12XYXYρ==⇒=cov(,((((1XYEXYEXEYEXY=-∴=当Z与X独立时,有(((EZYEZEY=(((((222(((0,(0,(404EZaEXEYEYEZYEaXYYaEXYEYaEXYEYaa⎡⎤=+===+=+⎣⎦∴+=+=⇒=-:(((1212121211((12121((,!!!!!!!knknnkknnknkkPXYnPXkYnkeeknkenenknknλλλλλλλλλλλλ---==-+-+-=+====-=-==+-∑∑∑((12121212(121212!!(|(|(!knkknkknneeknkPXkYnkPXkXYnCePXYnnλλλλλλλλλλλλλλ-----+-⎛⎫⎛⎫==-=+====⎪⎪+=++⎝⎭⎝⎭+:(0(((uxuxuxxXMuEeefxdxeedxuuλλλλλ+∞+∞--∞====>-⎰⎰((((222121(XXuuEXMuEXMuDXλλλ=='''=====:由特征函数与矩母函数关系知:(11XMuu=-((((201(21XXuuEXMuEXMuDX=='''∴=====:1,...,nXX均相互独立。(((1...nXXXuuuϕϕϕ∴=其中1nkkXX==∑又1,...,nXX均同分布于两点分布((((1201...11niuiuiuXXXuuuepepppeϕϕϕ⋅⋅∴====-+⋅=-+((1niuXuppeϕ∴=-+与二项分布特征函数一致由于特征函数具有唯一性,故题设成立。:(1根据特征函数与矩母函数关系,再由第8题结论知:(kkxkuiuλϕλ=-(21,...,nXX相互独立。((11kkzXknknkuuiuλϕϕλ≤≤≤≤∴==-∏∏: