线性代数与空间解析几何------4.ppt

第四章 n 维向量与线性方程组在许多实际问题中,只用二,三维几何向量是远远不够的。比如,在气象观测中,我们不仅要了解在某个时刻云团所处的位置,还希望知道温度,压强等物理参数。因此,有必要引入n元数组构成的n 维向量的概念。本章主要研究如下几个问题:(1)线性相关与线性无关;(2)向量组的最大无关组与秩;(3)线性方程组解的结构与通解。 数域F内的n个数naaa,,,21?组成的有序数组),,,(21naaa?或??????????????naaa?21称为数域F上的n维行(或列)向量,,称其为实向量; 如果F是复数域,称其为复向量;),,,(),,,,(2121nnbbbaaa??????都是n维向量,当且仅当),,2,1(nibaii???时,称向量?与?相等,记作.???分量都是0的向量称为零向量,=(0,0,…,0)若),,,(21naaa???,则),,,(21naaa????称为?的负向量,记为??.若nmija??)(A,则A的每一行(列)可表示一个行(列)向量,因此由分块阵的定义, A有两种特殊的向量表示形式:(1)当向量),,,(21iniiiaaa???为矩阵A的第),,2,1(mii??行时,矩阵A可以表示为:???????????????m????21A(2)当向量),,2,1(21njaaamjjjj???????????????????为矩阵A的第),,2,1(njj??列时,矩阵A可以表示为:??n????21? 设),,,(),,,,(2121nnbbbaaa??????都是n维向量,那么, n维向量:),,,(2211nnbababa????叫做向量?与?的和,记做???,即),,,(2211nnbababa????????利用负向量,可规定向量的减法:),,,(2211nnbababa???????? 设),,,(21naaa???是n维向量,k是数, 那么,n维向量:),,,(21nkakaka?叫做k与向量?的乘积,记做?k,即),,,(21nkakakak???向量的加法与向量的数乘统称为向量的线性运算。n维向量的线性运算满足下面的八条性质:(1)???????(2)?????????????)((3)????0(4)0)(?????(5)????????)1(,1(6)??)()(kllk?(7)????kkk???)((8)???lklk???)(.对任意n维向量???,,和数k及l,有:????????cba,,1,0,00,1,00,0,1321????????定义对于n维向量组m???,,,21?及n维向量?如果有一组数mkkk,,,21?使得mmkkk?????????2211成立则称向量?是向量组m???,,,21?的线性组合,或称?可由向量组m???,,,21?线性表示,此时称mkkk,,,21?为组合系数或表示系数. 向量的线性组合例如,3维向量组则321????cba???即?可由向量组321,,???线性表示,且表示系数是?的分量a,b,????????????????????????????????????114,132,12121???显然212?????即?可由向量组,,21??线性表示, 且表示系数是:2,,n维向量组????????????????????????????????????????????????????????????100,,010,001,2121?????nnaaa????显然nnaaa?????????2211即?可由向量组n???,,,21?线性表示, 且表示系数为????,,,21?为n维(标准)???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa?????????221122222********** (1)记系数阵),,,(212**********nmnmmnnaaaaaaaaa??????????????????????????A??????????????????????????????nmxxxXbbb??2121,?则线性方程组(1)可以用向量的形式表示为:????????nnxxx?2211 (2) 设n维列向量组m????,,,,21?,则?可由n维向量组m???,,,21?线性表示的充要条件为线性方程组????????mmxxx