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复、实变函数的比较与应用作者:学号:专业:数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名:班级:数学学号:数域从实数域扩大到复数域后,便产生了复变函数论,并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数,而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念,很多都是可以推广到复变函数上。例如:函数的连续性、函数的导数、有(无)界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。在中学我们主要了解学****了实变函数,与大学期间我们又更加深入的学****研究了实变函数,与此同时,也开始复变函数的学****由此我们看到了:“数的扩展:正数→负数→实数→”,在实数范围内:当方程判别式小于0时,没有实根。→扩大数域,引进复数,这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉,它们有很深的联系,然而事实上,他们有很大的不同,有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。(一)实变函数实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积,所以原有的积分范围太窄了,进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。Lebesgue积分:(二)复变函数复变函数是数学分析的继续,复变函数的定义:若在复数平面上存在一个点集,对于的每一点z,按照一定规律,有一个或多个复数值与之相对应,则称为z的函数,记作,z∈邻域:以复数为圆心,以任意小正实数为半径做一个圆,则圆内所有点的集合称为的邻域。把复变函数的的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y),=u(x,y)+iv(x,y),所以,复变函数可以归结为一对二元实变函数。(三);即实数→实变量→实变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数;即复数→复变量→复变函数。=x+yi,所以复变函数y=的实部与虚部都是x,y的函数,即=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成:一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样,实变函数的许多定义、公式,定理可直接移植到复变函数中。然而同时,由于复变函数的虚部,实变函数的许多定义、公式,定理也不再是用于复变函数。对于复变函数与实变函数,我们分别学****了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。然而同时,由于复变函数的虚部,所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。,即都是由函数值的差与自变量的差之商的极限来定义导数,它们的联系也是密切的,区别则是整个取值的差异。复变函数在复数域中取值,实变函数在实数域内取值,但两种微分的几何意义是相同的。对于微分的性质,实变函数与复变函数有以下三大点的不同。(1)微分中值定理微分中值定理是微分学的重要内容,表现形式一般为柯西中值定理,罗尔中值定理及拉格朗日中值定理,微分中值定理在复数域中是不成立的。我们以罗尔定理来举例证明。罗尔定理:若函数满足:①在闭区间上连续;②在开区间内可导,且;则必存在,使得。证明:取,在整个复平面上解析,且,但,无论取什么值都不会为零,也就是说罗尔定理的结论对函数不成立。故微分