2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1.doc

、性质、运算律及计算方法.(重点).(难点),、求夹角和距离运算,(1)夹角的定义已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉.(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0,π].特别地,当θ=0时,两向量同向共线;当θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则〈a,b〉=0或π;当〈a,b〉=时,两向量垂直,记作a⊥(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a··b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)数量积的运算律:数乘向量与数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)交换律a·b=b·a分配律a·(b+c)=a·b+a·c(3)空间两向量的数量积的性质:向量数量积的性质垂直若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0共线同向:则a·b=|a|·|b|反向:则a·b=-|a|·|b|模a·a=|a||a|cos〈a,a〉=|a|2|a|=|a·b|≤|a|·|b|夹角θ为a,b的夹角,则cosθ=思考:(1)若a·b=0,则一定有a⊥b吗?(2)若a·b>0,则〈a,b〉一定是锐角吗?[提示] (1)若a·b=0,则不一定有a⊥b,也可能a=0或b=.(2)当〈a,b〉=0时,也有a·b>0,故当a·b>0时,〈a·b〉,不正确的命题的个数为( )①=|a|;②m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R);③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b= [命题①②③正确,④不正确.]­A′B′C′D′的棱长为a,设=a,=b,=c,则〈,〉等于( )° °° °D [△B′D′C是等边三角形,〈,〉=〈,〉=120°.]|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则〈a,b〉=[cos〈a,b〉===-.所以〈a,b〉=π.]⊥b,〈a,c〉=,〈b,c〉=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量a+b+c的模是________. [因为|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+a·c+b·c)=1+4+9+2=17+6,所以|a+b+c|=.] 空间向量的数量积运算【例1】(1)已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=( ) (2)如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求值:①·;②·;③·;④·.(1)A [由题意知,p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.](2)解:①·=·=||||cos〈,〉=cos60°=.②·=·=||2=.③EF·=·=-·=-×cos60°=-.④·=·(-)=·-·=||||cos〈,〉-||||cos〈,〉=cos60°-cos60°=(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·= [·=·=(·+·)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.](2)在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·(++)=________. [=+=+(+)=+[(-)+(-)]=++.∴·(++)=·(++)=2+2+2=×22+×32+×12=.] 利用数量积证明空间的垂直关系【例2】已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC.[解] 连接ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,又设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|.又=(+)==(a+b+c),=c-b.∴·=(a+b+c)·(c-b)=(a·c-