线性多步法讲解材料.ppt

()的数值解法中,除了Runge-Kutta型公式等单步法之外,还有另一种类型的解法,即某一步的公式不仅与前一步解的值有关,而且与前若干步解的值有关,利用前面多步的信息预测下一步的值,这就是多步法的基本思想,可以期望获得较高的精度。构造多步法有多种途径,下面先讨论基于数值积分的方法。()中的方程在区间上积分,可以得到()如推导Newton-Cotes求积公式一样,用等距节点的插值多项式来替代被积函数,再对插值多项式积分,这样就得到一系列求积公式。例如,用梯形方法计算积分项代入()式有据此即可导出公式()。一般地,设由个数据点构造插值多项式,这里, 。运用插值公式有将()离散化即得下列计算公式表8-6j0123413-123-16555-5937-91901-27742616-1274251应用实例:考虑跳伞员的下落速度。自由落体运动可用牛顿第二定律描述:F=ma。实验表明,空气阻力模型为,其中,比例系数k依赖于物体的大小、形状,空气的密度和粘度。跳伞员下落的速度可描述为下列模型:负号表示下降。显然,当1<p<2时,适合于数值方法求解。设k/m=,g=32,先用中点法提供开始值,再用下列两步而阶方法求其他需要计算的值。当p=1时,取h=,三秒末跳伞员的末速度约有21。若将模型修改为p=,取h=,则有计算结果:可见三秒末跳伞员的末速度减慢了。计算结果如下图所示+表示p=1时的解,*表示p=,选用了作为插值节点。这样的插值多项式在求积区间上逼近是一个外推结果。为了改善逼近效果,我们变外推为内推,即改用为插值节点,用数据点构造插值多项式,则有于是我们有如下的计算公式