两个齐次线性方程组的解集的关系的讨论.doc

=0的解一定是方程组BAx=0的解T2设A是实矩阵,则齐次线性方程组Ax=0与AAX,0同解T显然齐次线性方程组AX,0AAX,0的解都是的解。TTTT反过来:设AAX,0是的解,即,从而,AA,,0,AA,,0a,,1,,a2T,,既,,是列向量,令,A,(A,)(A,),0,A,,?,,,,a,,n222T那么,每个元素都是实数,(,A)(,A),a,a,?,a,012n所以,即A,,0a,a,?,a,012n3设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解,则r(A)=r(B)T设A是实矩阵,则A与AA的秩相等4齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A,,,.:设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解,Ax=0与同解X,0,,B,,A,,事实上显然的解都是Ax=0的解,反过来,由于Ax=0的解也满足Bx=0,从而也是X,0,,B,,AA,,,,的解,所以,B行向量可由A的行向量(的极大无关组)线性表示,X,0r(A),r(),,,,BB,,,,反之,A行向量可由B的行向量线性表示,所以,A,B的行向量组等价.:若A,B的行向量组等价,则B的行向量可以写成A的行向量的线性组合,所以方程组Bx=0中的每一个方程,都是Ax=0中的方程的线性组合,所以,方程组Ax=0的解都是Bx=0的解。反过来方程组Bx=0的解都是Ax=0的解,所以:方程组Ax=0与Bx==0和Bx=0,其中A,B均为m,n矩阵,现有4个命题:?若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)秩(B);,秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解;,?若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B);?若秩(A)?若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=(A)??.(B)??.(C)??.(D)??.本题也可找反例用排除法进行分析,但?n-秩(A)=n-秩(B),?两个命题的反例比较复杂一些,关键是抓住?与?,=0与Bx=0同解,则n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B),命题?成立,可排除(A),(C);但反过来,若秩(A)=秩(B),则不能推出Ax=0与Bx=0同解,如10,,,A,,,00,,00,,,则秩(A)=秩(B)=1,但Ax=0与Bx=0不同解,可见命题?不成立,排除(D),B,,,01,,故正确选项为(B).若Ax=0的解均是Bx=0的解,Ax=0的解集是Bx=0的解集的子集则,n-秩(A)n-秩(B),秩(A)秩(B),?成立.,,已知齐次线性方程组,2,3,0,xxx,123,(i)2,3,5,0,xxx,123,,,,0,xxax,123和xbxcx,,,0,,123(ii),2xbxcx2,,(,1),0,123,同解,求a,b,(ii)显然有无穷多解,于是方程组(i)也有无穷多解,从而可确定a,这样先求出(i)的通解,再代入方程组(ii)确定b,(ii)的未知量个数大于方程个数,故方程组方程组(ii)(i)与(ii)同解,所以方程组(i)(i)的系数矩阵施以初等行变换123101,,