(中学生数学)向量中的“隐藏圆”.doc

寻找向量中的“隐藏圆”浙江省东阳市顺风高级中学(322100)刘光红向量具有代数的运算性质和图形的直观感知功能,体现了数与形的结合,向量问题中有很多都具有它特有的几何意义,若能挖掘出问题本质,问题就会迎刃而解。其中寻找问题中的“隐藏圆”就是一种常用的方法,这样既可以避免大量繁杂的运算,又可以直观的知道向量的变化趋势,进而轻松快速有效地解决问题。若问题中给出两个运动着向量的夹角为定值,或者间接给出夹角为定值,或某两个向量差(或和)向量的模为定值等有关条件,求有关向量模或夹角的范围等问题,可以试着通过寻找向量终点所在的“隐藏圆”来解决问题。下面几例就是通过寻找“隐藏圆”来解决问题的。、,满足,,则向量、夹角的最大值为。BA图1O解析:由可知,向量可以看作是与向量相同起点O,终点在以向量的终点A为圆心的单位圆上,如图1所示,显然向量所在的直线与圆相切时,即终点在点B处时,向量、夹角最大,由,,,易知,所以向量、夹角最大值为。AOB图2评注:要想找到“隐藏圆”,首先要观察到这个定值,即向量终点固定后,同起点的向量的终点在以的终点为圆心的单位圆上运动。从而容易发现两个向量夹角的变化情况,找到最大角。、,满足,,则当向量、夹角最小时的值为。解析:由可知,向量可以看作是与向量2的终点O为起点,终点在以向量的起点A为圆心,半径为的单位圆上,如图2所示,显然向量所在的直线与圆相切时,即终点在点B处时,向量、夹角最小,由,,,易知,向量、夹角最小值为。此时。评注:观察到这个定值,由三角形法则向量可以看作是以向量的终点O为起点,终点在以向量的起点A为圆心,半径为的单位圆上的向量,找到了这个“隐藏圆”,就容易发现向量、,与的夹角为,则的范围是。OBA图3C解析:因为向量与的夹角为,向量的终点C可以看作以的长AB为弦,且所对的圆周角为的圆O上,(如图3所示),由顶角为,底边,可求圆的半径为,显然,当向量过圆心O时,它的模最长,此时=,当的起点和终点接近重合时,接近于0,所以的范围为评注:由和两个条件,利用同弧所对的圆周角相等可以找到“隐藏圆”,显然,向量的起点为A不动,终点D在圆上运动,的取值范围一目了然。、为平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值为。解析:由和可知,向量可以看作是与、共起点A,终点在以为直径的圆上的向量,(如图4所示),因为、为平面内两个互相垂直单位向量,显然最大值为该圆的直径。评注:由找到“隐藏圆”,使向量为起点A固定,而终点C在圆上游动的向量,显然最大的模长为,解法简单直观。、、满足,且,则的最小值为。OBCAMFED图5解析:根据可知,向量、的模长相等,夹角为,由可知,向量与向量垂直,即与垂直,如图5所示,向量、、起点相同,向量的终点在以AD为直径的圆M上。则的大小即为长度的大小,显然当点C在BM连线与圆M的交点E、F处时,分别取得最小值和最大值。又,,所以,,所以的最小值为评注: