经典题型未必经————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 经典题型未必经典-中学数学论文经典题型未必经典 江苏吴县中学顾俊华在高中数学求函数解析式的问题中,我们经常碰到以下一组比较经典的题型: 对于题(2)的解答很多学生包括我们教师也赞同第二种答案更为准确。这样,问题就解决了,无论是结果①②还是结果③,只要结果充分就可以作为正确答案。通过以上分析我们看到由y=f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可能会出现答案不唯一的情况,但是不是每一道题目都是这样的呢?答案是否定的,比如举一个最简单的例子:“若f(x-1)=x,x∈R则f(x)=_______”,它的答案显然是唯一的f(x)=x+1,x∈R。那为什么这种题型有时候答案唯一,有时候答案不唯一呢?问题到底出在哪里?如果弄清楚了这个问题,将对我们命题有很大帮助,至少我们不会出错题让学生来解答。我们继续来看,上面提到的题(2)的三个答案虽然各有不同,但我们也不难发现它们的一个共同之处,就是在(-∞,-2]∪[2,+∞)这个范围内,函数f(x)的表达式是一样的,都是x2-1,但是函数f(x)中的自变量x还有可能取到其它不在(-∞,-2]∪[2,+∞)这个范围内的值,这些自变量所对应的函数值不一定要通过表达式x2-1来计算,换成其它的表达式也可以,这样造成了该题答案也就是函数f(x)解析式的不唯一性。于是我们不难看出,造成这种不唯一性的原因是函数y=f[g(x)]中的内层函数g(x)的值域与原函数y=f(x)的定义域不相同,换个说法就是:如果g(x)的值域是y=f(x)定义域的真子集,那么这种不唯一性就无法避免。而由于函数的定义域的无法预知性,我们出题时只有保证y=f[g(x)]中g(x)的值域为R,才能避免求得函数f(x)答案的不唯一性,因为R不会是任何一个实数集的真子集的。结论:由y=f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式的题型,只有当g(x)值域为R时答案才唯一,否则结果有无穷多种。通过以上分析,不禁让我们想起函数中另外一个与之有密切联系的常规题型:由函数f[g(x)]的定义域求函数f(x)的定义域。例如:题(3):若函数f(x2)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为___________对于这类问题我们一般解答如下: 解:在f(x2)中x∈[-1,2],则x2∈[0,4],故函数f(x)的定义域为[0,4].有的参考书还明确指出y=f[g(x)]的值域就是f(x)的定义域。这个结论其实也是错误的,这用复合函数的定义很好解释,复合函数只要求内层函数g(x)的值域Zg是外层函数y=f(u)定义域Df的子集,并没有Zg=Df的要求,所以认定内层函数的值域是外层函数的定
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