恰当微分方程和积分因子.ppt

第二章一阶微分方程的初等积分法Integrated Method of First Order ODE 2016-11-161常微积分方程-重庆科技学院-李可人§ 恰当方程与积分因子//( , ) ,u u x y?设是一个连续可微的函数则它的全微分为dyyudxxudu??????如果我们恰好碰见了方程0),(),(??????dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu?一、恰当方程的定义及条件定义1( , ),u x y若有函数使得dyyxNdxyxMyxdu),(),(),(??则称微分方程)1(,0),(),(??dyyxNdxyxM是恰当方程.(1) ( , ) .u x y c?此时的通解为如0??ydxxdy0)2()3(322????dyxyxdxyyx0)()(??dyygdxxf是恰当方程.?)(xyd??)(23xyyxd????))()((ydygxdxfd1 恰当方程的定义需考虑的问题(1) 方程(*)是否为恰当方程?(2) 若(*)是恰当方程,怎样求解?(3) 若(*)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2 方程为恰当方程的充要条件定理1( , ) ( , ),M x y N x yR设函数和在一个矩形区域中连续且有连续的一阶偏导数则方程)1(,0),(),(??dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是).2(,),(),(xyxNyyxM?????( , ) ( , ) 0, (*)M x y dx N x y dy? ?证明“必要性”设(1)是恰当方程,( , ),u x y则有函数使得dyyudxxuyxdu??????),(dyyxNdxyxM),(),(??故有),,(yxMxu???),(yxNyu???从而2,M uy y x? ??? ?? ux x y? ??? ??2 2,u uy x x y? ??? ??由于和都是连续的从而有,22yxuxyu???????故.),(),(xyxNyyxM?????“充分性”,xyxNyyxM?????),(),(若(5) , ,y从出发把看作参数解这个方程得( , ),u x y则需构造函数满足)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu??即应满足)5(),,(yxMxu???)6(),,(yxNyu??????).(),(),(ydxyxMyxu?( ) ,y y?这里是的任意可微函数???yu因此?????)7(),()(dxyxMyNdyyd?(7) ,x下面证明的右端与无关x即对的偏导数常等于零事实上]),([??????dxyxMyNx]),([?????????dxyxMyxxN)6(),,(yxNyu???( ), (6),y u?下面选择使同时满足即????dyyddxyxMy)(),(?N????).(),(),(ydxyxMyxu?]),([?????????dxyxMxyxNyMxN??????.0?, (7) ,y于是右端的确只含有积分之得,]),([)(dydxyxMyNy???????故??dxyxMyxu),(),(,]),([dydxyxMyN??????(8)( , ) , (1)u x y即存在从而为恰当方程.?????)7(),()(dxyxMyNdyyd?注:若(1)为恰当方程,则其通解为( , ) [ ( , ) ] ,M x y dx N M x y dx dy c cy?? ? ??? ??为任常数1 不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断??dyyxNdxyxM???,ydxyxMyxu)(),(),(20?求).(),(30yyxNyu?求由???例1 验证方程0)sin2()(????dyyxdxyex是恰当方程,、恰当方程的求解