实对称矩阵与其伴随矩阵的有定性.doc

实对称矩阵与其伴随矩阵的有定性2004年5月第2期吉林师范大学(自然科学版)JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)(吉林市职工大学,吉林吉林132000)摘要:本文指出了文[1]中的错误,:对称矩阵;伴随矩阵;有定性中图分类号:0151文献标识码:A文章编号:1000—1840一(2004)02—0110—02设S表示所有r/×"的实对称矩阵的集合,A(?S)的特征值约定为:l(A)?…?(A).正定(半正定,半负定,负定)的矩阵A(?S)简记为A>0(A?0,A?0,A<0).矩阵A=(a,)的元素a,的代数余子式记为A因此A的伴随矩A=(6).其中bo==1,2,…,.作为实对称矩阵在合同变换下的矩阵标准形的应用,[1,例2]在A?S的前提下,给出了A>0的6个等价命题([1,例2的1),6)]),其中,有:命题设A?S,则A>0当且仅当A>—1]例1设A=l1—20I?s3,l一10—3J厂63—2]则A=l38—1>0l一2—?S前提下,[2,]知引理1设A是71阶矩阵(?2),则detA=(detA)",,f,当rankA="]且rankA=1当rankA="一1lf』l0当rankA<"一1J引理2设A?S,则A??S,有A=A,从而A,=A即A?=r/一1(r/?2),则A的特征多项式-厂A?()=一(一?A).证明由引理1知当rankA=r/一1时,有rankA=1,因此齐线性方程组Az==P,.A所以,-厂A?()一一trA一=一(一?A).=l定理1设A(?0)?S,则A?=r/时,即A>0时,从[2,]知A=lAlA>=r/一1时,从A?0知A?0,1?i?r/.又由[3,Pl13****题12]知此时A至少有"一1阶主子式大于零,即?A>=I3得至0A?S且1(A)=P,A>2(A)=…f=1=(A)=?<—l时,由引理1知A=,当A(?0)?S有A??S且A>)当"为偶数时,A>0;2)当"为奇数且detA>0时,A>0;3)当"为奇数且detA<0时,A<)当r/为偶数时,"一1是奇数,由detA>0及引理1有detA=(detA)一0>0,知收稿日期:2004—03—09作者简介:安晓梅(1966一),女,占林省吉林市人,现为吉林市职工大学教学部讲师一110—detA>~A—l=1tAA>0,进而A>)与3)当为奇数时,一l是偶数,由detA>0及引理1有detA=(detA)一>>0,或