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实正定矩阵的性质和判定方法院论文实正定矩阵的性质和判定方法摘要:主要归纳了实对称正定矩阵的若干性质,搜集总结了实对称正定矩阵的一些判定方法,:实对称正定矩阵;实正定矩阵;性质;判定方法1CharacteristicsandjudgmentmethodsofrealsymmetrypositivedefinitematrixAbstract:,:realsymmetrypositivedefinitematrix;realpositivedefinitematrix;characteristics;judgmentmethods2目录1定义……………………………………………………………………………(4)2性质……………………………………………………………………………(4)…………………………………………………(4)………………………………………………………(5)3实对称矩阵的判定方法………………………………………………………(6)参考文献…………………………………………………………………………(11)谢辞………………………………………………………………………………(12)31定义T定义1实对称矩阵称为正定的,如果二次型正Afx,xx(,,)=(不一定对称),若对任意实向量均有X,0TXAX>0,,对任意的维非零列向量,()=>,,X为其相应的特征向量,则有TTfxxx()0,XAXXX=>λAXX=λ,而有,因此λ>,2,nAA定理4若为实对称正定矩阵,=PPAPA5若定理为实对称正定矩阵,存在阶可逆矩阵,,,()a,它的任意一个阶主子式为mijnn,aak1k1k1km(),aakmk1kmkmm,,TTYAYXAX和,作两个二次型对任意,有,其中Y=(,,)0bb,X=(,,)0cc,0k1km01nbikkk,,,,当,,im12c,.,i0,其它,TTTT()mXAX由于正定,知XAX>0,而XAXAY,Y>0,由于的任Y0000000m,,T()mYAYA>0意性,即证得是正定二次型,,B均为同阶实对称矩阵,证明:,合同于,即存在实可逆矩阵,使AAEP-1-1-1-1-1-1TTTTPATEPAPEPABPPAPPBPPBP====;;()()1,,--11T当B正定时,则也正定,()PBP,,--11T相似,有相同的特征值,因此AB的特征值均大于0.()、B为实方阵,且与B合同,若A正定,,则A和Ε合同,A与B合同,则B和Ε合同,,+定理3若实阶方阵、正定,>0AB证明若、正定,则对任意的维列向量,有,X,0nTTTTXBX,对任意维列向量,有,,0X,0XA+BXXAXXBX()0=+>nAB+,是任意自然数,则存在正定矩阵,使得mmAB=.,,λ01,,TQAQAQ=证明由于是正定矩阵,所以存在正交矩阵,使,,,,,0λn,,其中,所以λλ,,>01n,,λ01,,TAQQ=.,,,,λ0n,,m,,λ01,,mTAB=令,=QQ,,,,m0λn,,AΕA+E,1定理5设是阶正定矩阵,是阶单位矩阵,+E证明设的全部特征值为λλλ,,,,由正定知λ,0,故的全部12ni5特征值为,因此A+E,,(+1)(+1)(+1)+1,+1,,+112n12n12ij,定理6设是阶正定矩阵,则:(1)对任意都有A=()aaaa,();nijijiijj(2),证明(1)因为A正定,