实正定矩阵的若干判据.doc

实正定矩阵的若干判据12詹仕林,詹旭洲(),广东潮州521041;,陕西西安710071摘要:一般阶矩阵正定性的研究已在很多领域得到了重要的应用,,:实矩阵;规范矩阵;正定性;判据;换位子()文章编号:1000-2162200803-中图分类号::A矩阵的正定性源于二次型与Hermite型的研究,×1T1970年,Johnson给出n阶实矩阵A正定的定义:若对任何0?x?R,都有xAx>0,,[1-5]已给出了矩阵正定的一系列性质,×nTλ()这里采用下列记号:R表示m×n实矩阵的集合,A表示矩阵A的转置,ReA表示矩阵A的特11TT()()征值的实部、记A=S+K,其中S=A+A,K=A-A分别是A的对称分支与反对称分支,22文中均指这种分解.[B,C]=BC-CB称为换位子,[B,C]=BSC-CSB称为关于S的换位子,如果S[B,C]=0,[1-5],有如下关于正定的刻画n×nTT(引理1设A?R,则下列命题:A是正定矩阵;A是正定矩阵;PAP是正定矩阵P是非奇异实矩1T)()P,使得阵;S=A+A是正定矩阵;存在非奇异实矩阵211aa1sT()PAP=diag1,1,,1,,11-a-a1s-1()其中a?a??a>0;×nT-1引理2设A=S+K?R是正定矩阵,则[A,A]=×nλ()定理1设A、B?R,若A是正定对称矩阵,B是正定矩阵,则ReAB>()证明因A是正定对称矩阵,故A存在,且由引理1知ABA是正定矩阵,故ReABA>×n()()λλ推论1设A、B?R,若A、B都是正定对称矩阵,则AB是实数且AB>0.[1]n×nλ()引理3若A?R是规范矩阵且ReA>0,×n定理2A?R是正定矩阵的充分必要条件是存在实正定对称矩阵P,使得Tλ()()RePA>0,[A,A]=02P-1()证明若A=S+K是正定矩阵,令P=S,则P是实正定对称矩阵,:2007-12-10()()基金项目:广东省自然科学基金资助项目04300023;广东省教育厅高校自然科学研究基金资助项目Z03095()作者简介:詹仕林1948-,男,广东梅州人,韩山师范学院教授.()16安徽大学学报自然科学版第32卷TT1/2()若存在实正定对称矩阵P,使得2式成立,则有APA从而由P存在知=()()()()PAPPAP=()λ()RePA>0得RePA