第五届全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类.doc

第五届全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类第五届全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)………(2分);原式…………………………………………………………………………………………(2分);………(2分),只要证明发散即可。…………………………(2分)因为。……………(2分)而发散,故由比较判别法发散。……………………………………(2分),求的极值。解方程两边对求导,得…………………(1分)故,令,得或………(2分)将代入所给方程得,将代入所给方程得,………………………………………(2分)又,故为极大值,为极小值。………………………………(3分),使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为,求点A的坐标。解设切点A的坐标为,曲线过A点的切线方程为………………………………………………………………………………………(2分);令,由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。从而作图可知,所求平面图形的面积,故A点的坐标为。…………………………………………………………(4分)二、(满分12)计算定积分解…………………………………(4分)……………………(2分)…………………………………………………………………(4分)…………………………………………………………(2分)三、(满分12分)设在处存在二阶导数,且。证明:级数收敛。解由于在处可导必连续,由得………………………………………………(2分)…………………………………………(2分)由洛必塔法则及定义………………………(3分)所以…………………………………(2分)由于级数收敛,从而由比较判别法的极限形式收敛。……(3分)四、(满分12分)设,证明解因为,所以在上严格单调增,从而有反函数………………………………………………………………………………………(2分)。设是的反函数,则………(3分)又,则,所以…(3分)……………………(2分)五、(满分14分)设是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面,使积分I的值最小,并求该最小值。解记围成的立体为V,由高斯公式………………(3分)为了使得I的值最小,就要求V是