已知梯形中的定积求高问题及其应用.doc

已知梯形中的定积求高问题及其应用山东省章丘市教师进修学校宁苗苗王维宝一、问题的提出有一梯形农田如图1,今需按人口依次分配给甲、乙、丙、丁四户,各户人数依次为3、5、6、6口。问:如何求得图1中的h、h、h和h。1234我们利用梯形面积公式和按比例分配知识,可以很快算得:2梯形总面积S=(180+100)×360/2=50400(m)各户应分配面积2单位(m)甲户S=50400×3/20=7560(m)1甲乙丙丁2a=180b=10乙户S=50400×5/20=12600(m)2hhhh123402丙、丁S=S=50400×6/20=15120(m)34h=36图10可是,当再往下计算各户在规定的次序上应分配小梯形的高h、h、h和h时,却没有了现成公式。于是,向我们提出一个新问题:在已知梯形内的1234某位置求得一个小梯形的高,使小梯形的面积为已知数。我们称这类问题为“已知梯形中的定积求高问题”。二、问题的探求过程基于梯形面积公式的方程组能否解决该问题,显然,分配后的每一户农田仍为梯形,且每个小梯形均存在上底、下底和高,它们为未知数,用字母表示(图2),连同已知数a、b、h、S、S、S和S,基于梯形面积公式可列出方程组为:1234S=(a+y)h/2111SSSS1234bS=(y+y)h/22122ayyyS=(y+y)h/21233233S=(y+b)h/2434hhhh1234h=h+h+h+h1234h在这个方程组中,未知数的个数多于方程的个数,所以方程组的解不确定。也就是说,仅用列方程组的方法是不可图2能解决问题的。基于坐标系的解析几何与函数能否解决问题,凭直觉:若在一个已知大梯形内部确定一个位置一定、面积也一定的小梯形的话,这个小梯形的高应该是唯一确定的。所以,我们只需(也应该存在)找出某一个量作为自变量,将其它各量表示为这个自变量的表达式,然后代入面积公式会得到一个一元方程,再求解y这个方程。基于此想法,可建立平面直角坐标系后再利用函数FBM(x,y)进行建模。C(因为任意两个等底、等高的梯形面积总是相等的,与其形aS状无关,所以,只需借助直角梯形建立坐标系即可。iXbAE(h,0)N0D(h,0)?问题建模hi已知梯形ABCD中,两底AB=a,CD=b;高AD=h;(图3)AB?EF?MN,EF与AB之距AE=h,求一个梯形EFMN0的高EN=h,使梯形的面积为S,S为已知数。(图3)iii?探求过程依题意,已知点及相应坐标为:A(0,0);B(0,a);D(h,0);C(h,b);E(h,0)。0设自变量为x,M(x,y)为直线BC上的动点,那么N(x,0),可得直线BC的方程为y=a+(b,a)x/h(a?b,x,0)如果用定积分沟通梯形EFMN中量与量之间的关系,那么h+h0ib,aS=?〔a+——〕dxihh0继续计算右边的积分得b,ah+h20iS=(ax+———x)?i2hh0代入上下限,整理这个关于h的方程得i2hSahi2h+2(h+——)h=———i0ib,ab-aah考虑到a、b、h均为已知数,为了使方程简洁,令?=———,原方程化为b,a2?2h+2(h+?)h=——S0iiia解得2?2h=,(h+?)?(h+?)+——S(?)i00ia这就是问题模型求解的一般公式,并且?当a,b时,根号前取“,”;?当a,b时