范德蒙行列式的证明及其应用.doc

范德蒙行列式的证明及其应用范德蒙德行列式的证明及其应用摘要:介绍了阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙n行列式,;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,,:范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;,在十九世纪末,,,,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,、敢于探索的精神为大家所认可,,进行了反复的钻研,、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,,皮埃尔-,思维方法发生了变化,,,,、,,1839年,、,,-1-111?aa?a12n行列式(1)????n,1n,1n,1aa?a12n称为阶的范德蒙(Vandermonde),我们可以得出结论:对任意的错误~未找到nn(2),引用源。阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差na,a,?a12n错误~未找到引用源。,a(1,j,i,n),nn11,rar,11?1112n,n,?aaaa0,?,rarn,211211D,,,,,,,,n????1212n,n,n,n,0a,aa?a,aa211nnna,aa,a?a,a2132n1a(a,a)a(a,a)?a(a,a)221331nn1按c展开1,,,,,????,,,n2n2n2a(a,a)a(a,a)?a(a,a)221331nn1上式,(a,a)(a,a)?(a,a)D2132n1n,1仿上做法,有D,(a,a)(a,a)?(a,a)Dn,13242n2n,2再递推下去,直到D,,(a,a)(a,a)(a,a)(a,a)(a,a)(a,a)(a,a)???n2131n13242n2nn,1,(a,a)ij,1,j,i,-2-a?a?a111j1n?????a?a?a,Di1ijin?????a?a?an1njnn中,除第行(或第错误~未找到引用源。列)的元素以外,行列式中其余元aiij素全是零,则由Laplace定理得:此行列式等于与它的代数余子式错误~未找aAijij到引用源。的乘积,在D,aAijij?1111aaa?a123n2222D,aaa?an123n?????n,1n,1n,1n,1aaa?a123n中,从最后一行开始,每一行减去它相邻前一行的倍,得a1111?10a,aa,a?a,a2131n1D,0a(a,a)a(a,a)?a(a,a)n221331nn1?????,,,n2n2n20a(a,a)a(a,a)?a(a,a)221331nn1根据上述定理a,aa,a?a,a2131n1a(a,a)a(a,a)?a(a,a)221331nn1D,错误~未找到引用源。n????,,,n2n2n2a(a,a)a(a,a)?a(a,a)221331nn1把每列的公因子提出来,得11?1aa?a23nD,(a,a)(a,a)?(a,a)错误~未找到引用源。错