反三角函数学习指导.doc

反三角函数学习指导.doc:..本章主要内容:学****反三角函数的概念、图像和性质,利用反三角函数表示角,掌握反三角函数的化简求值等运算。木章知识要点:TTTT(1)确切理解反正弦函数的意义。arcsinx表示一个在[-—,—]上的角,这个角的正22JI弦值为X。因此我们有:sin(arcsinx)= €[-1,11 arcsin(sinx)=x,xe[——122同理我们可以理解和定义其它反三角函数。(2)反三角函数的图像可依据三角函数在主值区间上的函数图像,再利用互为反函数的两个函数图像关于j=x对称的关系画出來。由图像研究反三角函数的性质:y-arcsinx,xe[一1,1]是奇两数且为增函数,arcsin(-x)=-arcsinx,y=osx,兀w[-1,1]os(-x)-7t-osx,y=arctanx,xeR是奇函数且为增函数,arctan(-x)=-arctanx,例题讲析:例1:画岀下列函数的图像(1)y=arcsin(sinx)函数是以2兀为周期的周期函数TTTT当xg[——,—]时,arcsin(sinx)=x当兀w[―,—1H寸,arcsin(sinx)=7T-x22其图像是折线,如图所示:(2)y=sin(osx),xg[-1,1]y=Jl-cos2(osx)=\\-x2(x<1)其图像为单位圆的上半圆(包括端点)如图所示:、 X+]例2:计算:arctanx-ot: ,(x<-1)x-l解:设arctanx=4则tana=兀,由兀<一1,得ag( , )ot =0,则tan0=-一->0,得0e(0,—)x-1 x+1 2从而tan(«-/?)=tana~tan=1,又a-f} )故原式=a-(3=~—1+tanatan0 4 4讲评:在这里提醒同学们注意一定要考虑a-0的范围,在得到tan(a-0)=l后,防止出TT n现a-6=-或cc—p=k7v+—、kcZ等错谋。4 47 7i 5 3tt例3:已知cos2q=(0,—),sin0= ,0g(兀,一)求©+0(用反三角函25 2 13 2数表示)分析:可求Q+0的某一三角函数值,再根据Q+0的范围,利用反三角函数表示角。jr解:Tag(0,—)/•sina=21-cos2a3 4 =—,cosa=—2 5 5Q [C又T0w(^,—)•:cos0=-Jl-sin2/3= 2 y 13sin(«+0)二sinacos卩+cos(,12、4/5、 565 13 5 13 65・・・qe(0,-),sin^z=-<— :.O<a<-25 2 4XVsinB=一-,0g 0=7r+arcsin—13 2 13X*.*0<arcsin—<—:.7t<B<—7i<a+8<—13 4 4 2从而a+B=7r+arcsin一657T 56讲评:由题设gw(O,-),0w3,「),得q+0w3,2tt)由计算sin©+0)=-宁2 2 65•I&+0=疗+arcsin竺或a+0=2^-arcsin—,但q,0是确定的角,因而65 65Q+0的值也是唯一确定的。所以必须确定Q+0所在的象限,在以上的解法中,山%0的JT 、冗范围,再根据sina,cos/?的值,进一步得到ag(0,—),/?g(兀,一)从