立体几何(5).doc

二面角二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系,具有综合性强,灵活性大的特点,因此,一直成为高考、会考的热点。求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类。直接法直接法就是根据已知条件,首先作出二面角的平面角,再求平面角大小的方法。求作二面角平面角的方法主要有:lab①利用定义即在二面角-l-的棱l上任取一点,然后在两个半平面内分别作棱的垂线a,b,则这两条垂线a,b所成的角即为二面角的平面角。在三棱锥P-ABC中,MPQ APB=BPC=CPA=600,求二面角A-PB-C的余弦值。分析:所求二面角与底面ABC所在的位置无关,故不妨利用定义求解。GAH略解:在二面角的棱PB上任取一点Q,在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB,QNPB,则由定义可得MQN即为二面角的平面角。设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a;又由PQNPQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,在三角形MQN中由余弦定理得cosMQN=,即二面角的余弦值为。②利用三垂线定理。即从半平面内的任一点A出发向另一个半平面引一条直线AH,过H作棱l的垂线HG,垂足为G,连AG,则由三垂线定理可证lAG,故AGH就是二面角-l-的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法,其关键是寻找或求作一条垂线,即从第一个半平面内的某一个点出发,且垂直于另一个半平面。在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=900,AB=BB1=1,直线B1C与平面ABC成300角,求二面角B-B1C-A的正弦值。ABCB1C1A1NQ分析:易知,1B1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。略解:1B1,1B1,垂足为N,1B1,(AN即为我们要找的垂线)在平面BCB1内过N作NQ棱B1C,垂足为Q,连QA,则NQA即为二面角的平面角。∵AB1在平面ABC内的射影为AB,CAAB,∴CAB1A,AB=BB1=1,得AB1=。∵直线B1C与平面ABC成300角,∴B1CB=300,B1C=2,Rt△B1AC中,由勾股定理得AC=,∴AQ=1。在Rt△BAC中,AB=1,AC=,得AN=。sinAQN==。即二面角B-B1C-A的正弦值为。BACDD1A1B1C1EF例3、如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,1的中点,求二面角B-B1E-D的余弦值。分析:图中二面角的二个半平面分别为△DEB1所在的半平面和△BEB1所在的半平面,即正方体的右侧面,它们的交线即二面角的棱B1E。不难找到DC即为从其中的一个半平面出发,并且垂直于另一个半平面的直线。BCC1B1EF略解:由题意可得直线DC平面BEB1,且垂足为C,过C作CFB1E于F(如图,F在B1E的延长线上),连DF,则由三垂线定理可得DFC即二面角的平面角。△B1C1E~△CFE,∴CF=;DF=∴cosDFC=。即二面角的平面角的余弦值为。③作棱的垂面即若能作一个平面与棱垂直,则可证该垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。PEDCl例4、如图,在平面角为600的二面角-l-内有一点P,P到、分别为PC=2cm,PD=3cm,则(1)垂足的连线CD等于多少?(2)P到棱l的距离为多少?分析:对于本题很多同学可能会这么做:过C在平面内作棱l的垂线,垂足为E,连D