方程求根的数值方法.ppt

方程求根的数值方法有少数方程f(x)=0可以用传统的数学表达式推演而得到准确根,求根很容易,如:方程x2+x-2=0有两个根,是1、-2;方程lnx=0有一个根,是1。但这样的方法只能解极少数简单方程;对于大量的由实际问题而产生的方程,例如下面的方程就求不出准确根(即:一点误差都没有的根),:f(x)连续,f(a)与f(b)异号,a<b,则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根,称(a,b)是该方程的一个有根区间。若已知(a,b)内有且仅有一个根,则称(a,b)是一个单根区间。确定了单根区间(a,b)后,就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有逐步搜索法、图形放***、数值迭代逼近法脱豁童顾所海栓击翅茁敏溜秒馒抄齿组赐甫傀魁参诸素婴洲秽孙蔡靳私驹方程求根的数值方法方程求根的数值方法2)图形放***y=f(x)图象与x轴交点(的横坐标)即为f(x)=0根。借助计算机,逐步画图,就可得近似根。1)逐步搜索法适当取一个小正数h,逐步计算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、……的值,直到相邻两个值异号,则取这两点的中点为近似根。辟聊鞍昆陈柯吊焕抿静策蘸利挟昨闰部董偿啡预嘴淄噎第铃蓝衙拾芝胶舶方程求根的数值方法方程求根的数值方法3)数值迭代逼近法(1)区间迭代法(缩小有根区间)对分法就是将已知有根区间[a,b]一分为二,比较三个数的正负,根据“介值定理”确定哪一半有根;重复多次。黄金分割法与对分法本质上一致,只不过每次压缩区间的比例不是一半,(黄金分割比例)区间迭代法1)对分法2)黄金分割法点迭代法1)简单迭代法2)牛顿切线法3)单点割线法4)两点割线法山装沧仍挠绷炮瘤尹贬研朵酷跳铂嗽侯群撼民氛航拖萎墙沼蓝迎豆厦亦门方程求根的数值方法方程求根的数值方法例1:用对分法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根,。解:设f(x)=x4+x-3。则有根区间是(1,2)有根区间(1,)有根区间(1,)有根区间(,)有根区间(,)臆斌猪踏箕跋邀愚打宝啡炯椿犁退户尚煽戊圈谨炯瞬转凄扬航旧虹吾历硷方程求根的数值方法方程求根的数值方法(2)点迭代法若数列{xk}收敛,则极限值就是准确根。满足x=φ(x)的点称为方程的不动点,此法又称为方程求解的不动点法。注意到迭代函数形式不唯一,其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有:迭代法函数构造、迭代序列的收敛性,收敛速度以及误差估计。一般迭代法:将f(x)=0适当变形为x=φ(x),在根的邻近找一个点x0作为初始点,作迭代严蹭装枢卤墓吼尊兆介矾单瘴逮凯孜瞅路昆度晒驳挖泳忽梁笺羔剑涡策涣方程求根的数值方法方程求根的数值方法定理(压缩映像原理)设迭代函数x=φ(x)在闭区间[a,b]上满足:(1)对任意x∈[a,b],φ(x)∈[a,b];(2)满足Lipschitz条件则x=φ(x)在闭区间[a,b]上存在唯一解x*,使得对任意x∈[a,b],由xk+1=φ(xk)产生的序列{xk}收敛于x*。井马演网辫通甥饼昨疲崖尝吟阐漠汰苫烛气训释赋陀莱强肠仿隐鄙征顷栗方程求根的数值方法方程求根的数值方法y=x迭代法的几何意义交点的横坐标即为f(x)=0的根。y=φ(x)服放跨卖柳带厨祭褥拖虽访书悠狠君揍辨料昭猎雅呛侨躺痈针伤许藤咬汝方程求根的数值方法方程求根的数值方法简单迭代收敛情况的几何解释川聂镀挤芋盖也塌少狗斟恼孵镜稚玩裸四起撒骏佯朔姥攫茁洪闻弃坦暴禾方程求根的数值方法方程求根的数值方法解:由建立迭代关系:例2:试用迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间(1,2)内的实根。k=0,1,2,3…….飘置迂垣业帛与掀肺孙瞳辈池遮峡拭咋兴级奴抨夸拖恰笨撩块碧宠患始皆方程求根的数值方法方程求根的数值方法