KMP算法详解.doc

KMP算法详解KMP算法简介与背景如果机房马上要关门了,或者你急着要和MM约会,请直接跳到第六个自然段。我们这里说的KMP不是拿来放电影的(虽然我很喜欢这个软件),而是一种算法。KMP算法是拿来处理字符串匹配的。换句话说,给你两个字符串,你需要回答,B串是否是A串的子串(A串是否包含B串)。比如,字符串A="I'mmatrix67",字符串B="matrix",我们就说B是A的子串。你可以委婉地问你的MM:“假如你要向你喜欢的人表白的话,我的名字是你的告白语中的子串吗,”解决这类问题,通常我们的方法是枚举从A串的什么位置起开始与B匹配,然后验证是否匹配。假如A串长度为n,B串长度为m,那么这种方法的复杂度是O(mn)的。虽然很多时候复杂度达不到mn(验证时只看头一两个字母就发现不匹配了),但我们有许多“最坏情况”,比如,A="aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaab",B="aaaaaaaab"。我们将介绍的是一种最坏情况下O(n)的算法(这里假设m<=n),即传说中的KMP算法。之所以叫做KMP,是因为这个算法是由Knuth、Morris、Pratt三个提出来的,取了这三个人的名字的头一个字母。这时,或许你突然明白了AVL树为什么叫AVL,或者Bellman-Ford为什么中间是一杠不是一个点。有时一个东西有七八个人研究过,那怎么命名呢,通常这个东西干脆就不用人名字命名了,免得发生争议,比如“3x+1问题”。扯远了。个人认为KMP是最没有必要讲的东西,因为这个东西网上能找到很多资料。但网上的讲法基本上都涉及到“移动(shift)”、“Next函数”等概念,这非常容易产生误解(至少一年半前我看这些资料学****KMP时就没搞清楚)。在这里,我换一种方法来解释KMP算法。算法假如,A="abababaababacb",B="ababacb",我们来看看KMP是怎么工作的。我们用两个指针i和j分别表示,A[i-j+1...i]与B[1..j]完全相等。也就是说,i是不断增加的,随着i的增加j相应地变化,且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前j个字符(j当然越大越好),现在需要检验A[i+1]和B[j+1]的关系。当A[i+1]=B[j+1]时,i和j各加一;什么时候j=m了,我们就说B是A的子串(B串已经整完了),并且可以根据这时的i值算出匹配的位置。当A[i+1]<>B[j+1],KMP的策略是调整j的位置(减小j值)使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配(从而使得i和j能继续增加)。我们看一看当i=j=5时的情况。i=123456789……A=abababaabab…B=ababacbj=1234567此时,A[6]<>B[6]。这表明,此时j不能等于5了,我们要把j改成比它小的值j'。j'可能是多少呢,仔细想一下,我们发现,j'必须要使得B[1..j]中的头j'个字母和末j'个字母完全相等(这样j变成了j'后才能继续保持i和j的性质)。这个j'当然要越大越好。在这里,B[1..5]="ababa",头3个字母和末3个字母都是"aba"。而当新的j为3时,A[6]恰好和B[4]相等。于是,i变成了6,而j则变成了4:i=123456789……A=abababaabab…B=