循环群、子群.doc

循环群、子群授课教师:殷晓斌一、教学目标1、理解循环群、子群的定义;2、掌握循环群的结构;3、掌握子群的几个充要条件。二、教学重难点重点:循环群、子群的定义难点:循环群的结构定理三、教学方法尝试指导法学生依据循环群、子群的定义,在教师指导下能自己证明循环群的结构定理与子群的几个充要条件,能自己独立完成课后****题与课堂作业。四、教学过程设计1、复****群的第一定义与第二定义。2、引入看一个群G,G的元会不会都是G的固定元a的乘方,这是可能的。例如:G是整数集关于加法的群,简称整数加群。,,mG,m都是“1”的乘方,事实上,设m>0,将“+”用“”表示,m则m11111111,,,,,,?,,,?,,,,,,,,,,,个个mm由是1的逆元及,,,,,,,,,,,,m111111?,,?,,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m个m,m,,,11,,001,又0是G的单位元,故3、讲授新课kGak,,定义1:若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,即,,,Ga,则称G为循环群,并称G是由a所生成的,记为,a叫做G的生成元。,,例如:整数加群是循环群,1是它的生成元。G0,1,,n1,,?abab,,,例1:是模n的剩余类的集合。在G中规定:,,,,,,,,,,,,,,,,a,bG,则有:,,,,(1)如上规定的“+”是G的代数运算,,,,aa,bb,aan,bbn,若,,则,,,,,,,,,,,,,1,,naa,?,nbb,,,nabab,,,?,,,,abab,,,?,,,,(2)“+”适合结合律0aa,,,,aG(3),,,,,,,,aaaa0,,,,,,,,(4),,,,,,,,,,,,故(G,+)是群——模n的剩余类加群,常记为。此外,(G,+)是一个,,nG1,循环群,以[1]为一个生成元,即。,,,,定理1:设G=(a)为一个循环群,则有,,(i)若a的阶无限,则G与整数加群同构;,,,,(ii)若a的阶为n,则G与同构。,,nhkhkaahk,,,aa,证明:(i)若a的阶无限,则,(事实上,若h=k则显然;hkhk,aa,ae,若,但,不妨设h>k,从而,此与a的阶无限矛盾。故h=k)hk,kkk,,:Gak!作;,则,为一一映射且对,,,a,aGhkhkhk,,,,,,,,,,,aaahkaa,,,,,,,,G,?为同构映射,?,hkaanhk,,,(ii)若a的阶为n,则。hkaa,,,qhknq,,hknq,,nhk,若,则,使得,??hkaa,hknqr,,,若,记(0?r<n)hknqrr,,eaaa,,,nhk,则,由阶的定义知,r=0,?khkak!作;,则,为一一映射且对,,,:G,,a,aG,,nhkhkhk,,,,,,,,,,,,,aaahkhkaa,,,,,,,,,,,,,,?,为同构映射?。#G,n注:由此定理可知,对循环群G=(a):2,,21012G,a,a,a,a,a,,??(1)若a的阶无限,则,,hkhk,aaa,,其中012n1,Ga,a,a,,a,?(2)若a的阶为n,则,,hkhkr,aaaa,,,hknqr,,,其中,其中(0?r?n-1)利用群的子集推测整个群的性质是研究任何群都要用到的方法之一。定义2:一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的乘法本身作成一个群,记为