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高等数学—期中答题一、(数列和函数)极限思想方法分析:1、函数极限的定义:设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式:|f(x)-A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。2、函数极限的一般定义:(1)设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义,如果当x→+∞时,函数f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作limf(x)=A,x→+∞。(2)设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时(记作x→a),函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作limf(x)=A,x→a。3、函数的左右极限:(1)如果当x从点x=x0的左侧(即x〈x0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作x→x0-limf(x)=a.(2)如果当x从点x=x0右侧(即x>x0)无限趋近于点x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限,记作x→x0+limf(x)=:若一个函数在x(0)上的左右极限不同则此函数在x(0)上不存在极限注:一个函数是否在x(0)处存在极限,与它在x=x(0)处是否有定义无关,只要求y=f(x)在x(0)近旁有定义即可。函数极限的性质:极限的运算法则(或称有关公式):lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)(limg(x)不等于0)lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x)limg(x)都存在时才成立lim(1+1/x)^x=ex→∞例1、(变量替换法)例2:(洛必达法则)4、数列极限的定义。设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn-a|<ε都成立,那么就称常数a是数列的极限,或者称数列收敛于a,即为Xn=a(n→∞)或如图。读作“当n趋于无穷大时,An的极限等于A或An趋于A”。(注1:数列有极限,即当n趋向无穷大时,数列的项Xn无限趋近于或等于a,任意取一个值ε,是表明无论ε是多小的数,Xn与a的差总小于ε,换句话说就是Xn无限趋近于或等于a。当n>N时,无论ε多小,当n足够大时,都可以满足|Xn-a|<ε。换句话说,就是即使ε小到非常小(趋近于0),当n大到足够大的程度(趋向于无穷大)也会满足Xn与a的差小于ε(趋近于0))。注2:(一个数列(极限)无限趋近于0,它就是一个无穷小数列(极限)。无穷大数列和无穷小数列成倒数。)例1:(定义法)求证:lim(n->∞)sinn/n=0证明:①对任意ε>0,∵|sinn|≤1∴要使|sinn/n-0|<ε成立,即只要满足:|sinn/n-0|=|sinn/n|≤1/n<ε,即只要:n>1/ε即可。即只要:n>1/ε即可。②故存在N=[1/ε]∈N③当n>N 时,④恒有:|sinn/n-0|<ε 成立。∴lim(n->∞)sinn/n=0例2、数列{Xn}满足0<X1<1/2,Xn+1=Xn(1-2Xn),n=1,2,……,证明:(1){Xn}单减,且0<Xn<1/2,n=1,2……(2)lim(X趋向于无穷大)Xn存在,并求出其值.(数学归纳法)解:对于X1显然成立假设对于n=k成立,0<Xk<1/2,n=k+1,Xk+1=Xk(1-2Xk)>0因为Xk>0,1-2Xk>0Xk(1-2Xk)-1/2=-2Xk^2+Xk-1/2=-2(Xk-1/4)^2-3/8<0所以0<Xk+1<1/2所以对于任意n,都有0<Xn<1/2(2)Xn+1-Xn=Xn(1-2Xn)-Xn=-2Xn^2<0,所以Xn单调递减,且有下界0,所以由单调有界定理,极限必存在假设为x,令n->无穷,得到方程a=a(1-2a)2a^2=0a=0 所以极限为05、小结:函数极限与数列极限是相互联系的,方法也相似。可以用函数极限求数列的极限,因为函数是连续的,而数列是离散的,连续可以得到很多性质,比如你说的罗比达法则,再比如说等价量的替换等等。4、求极限的方法:(1)、利用定义求极限。(2)、利用柯西准则来求。柯西准则:要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N,使得当n>N时,对于任意的自然数m有|xn-xm|<ε.(3)、利用极限的运算性质及已知的极限来求。如:lim(x+x^