构造平行四边形证题的技巧.doc

构造平行四边形证题的技巧吴健在证明某些几何问题时,若能根据图形的特征,添加恰当的辅助线构造出平行四边形,并利用其性质可使问题化难为易,化繁为简,下面举例说明。,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O,E、F分别为OB、OD的中点,过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。求证:GF//EH。证明:连结GE、,中,D在AB上,E在AC的延长线上,BD=CE连结DE,交BC于F,∠BAC外角的平分线交BC的延长线于G,且AG//DE。求证:BF=CF分析:过点C作CM//AB交DE于点M,可以证明BD=CM,然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF证明:过点C作CM//AB交BE于点M,连接BM、CD,则∠CME=∠ADE四边形BMCD为平行四边形故BF=,AD是的边BC上的中线,求证:分析:欲证,即要证,设法将2AD、AB、AC归结到一个三角形中,利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD为的中线,故可考虑延长AD到E,使DE=AD,则四边形ABEC为平行四边形。从而问题得证。证明:延长AD到E,使DE=AD,连结BE、EC四边形ABEC是平行四边形在中,AE<AB+BE即2AD<AB+AC点评:此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定,通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系,转化为三角形三边之间的关系,从而使问题迎刃而解。,分别以中的AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH,M是BC的中点,求证:FH=2AM证明:延长AM到D,使MD=AM,连结BD、CD, 是BC的中点四边形ABDC为平行四边形又AF=BA,AH=AC=BD故FH=,如图所示,求证:CD与EF互相平分分析:要证CD与EF互相平分,须证四边形DFCE是平行四边形证明:连结DE、DF、AF易知AD=AB=BD又AE=AC,AD=AB∠DAE=60°-∠EAB=∠,在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC>BD求证:∠DBC>∠ACB证明:过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,则四边形ACED是平行四边形又在中,∠DBE>∠,中,点E、F在边AB上,AE=BF,ED//AC//FG,求证:E