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一个有趣的极限.doc


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一个有趣的极限.doc一个有趣的极限董忠民(西安文理学院数学系,陕西西安710065)摘要:引入一个新的数论函数,并利用解析方法,给出这个数论函数均值的一个较强的渐近公式以及一个有趣的极限公式。关键词:数论函数;极限;渐近公式中图分类号::A文章编号:1000-274X(2004)0079-041引言及结论对任意正整数,定义函数如下:;对任意素数及正整数,定义,当正整数的标准分解式为时,定义。这样定义的数论函数显然是可乘的,但不是完全可乘函数。本文的主要目的是研究的均值性质,并给出一个较强的渐近公式,同时获得一个有趣的推论。定理1对任意实数,有渐近公式其中:为RiemannZeta函数;表示对所有素数求积;为任意给定的正数。由这一定理我们立刻得到下面的推论1如何给出这一极限的直接证明也是一个有意义的问题。2 定理的证明为了完成定理的证明,我们先叙述一个简单的引理,即著名的Perron公式[1]引理1设。再设存在递增函数及函数,使得。那么,对任意的及,当及时有:1)正整数时+ 其中是离最近的整数为半奇数时,取;2)=正整数时+ 这里,常数仅和有关。有了这个引理,我们容易给出定理证明。事实上对任意复数,设由Euler积公式(文献[2])可得= = 其中为RiemannZeta函数,并在处有1阶极点,留数为1,而在处有1阶极点,留数为在引理中取,可得将上式积分线移至处,于是取可得+= =这就完成了定理的证明。注意到时,以及于是在定理中取,并结合上式立刻得到推论中的极限。参考文献:[1]PANCheng-dong,PANCheng-[M].Beijing:SciencePress,1997.[2][M].NewYork:Springer-Verlag,1976. (编辑曹大刚)AnarithmeticalfunctionanditsmeanvalueDONGZhong-min(DepartmentofMathematics,Xi’anUniversityofArtsandScience,Xi’an710065,China)Abstr

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