一维线性谐振子哈密顿量改写中的非幺正变换谢传梅.doc

一维线性谐振子哈密顿量改写中的非幺正变换谢传梅.doc:2011-01-07;修回日期:2011-03-29基金项目:安徽大学博士科研启动经费项目资助;国家自然科学基金(10775097和10874174)资助作者简介:谢传梅(1979—),女,安徽淮南人,安徽大学物理与材料科学学院讲师,博士,,2,范洪义2(,安徽合肥230039;,安徽合肥230026)摘要:通过引入一非幺正算符实现了对一维线性谐振子系统哈密顿量的从坐标、动量表象(Q,P)到占有数表象(a,a+):一维线性谐振子;非幺正算符;占有数表象中图分类号::A文章编号:1000-0712(2011)09-0008-02量子力学教学中代数解法被广泛用于处理系统的本征值问题[1,2],例如研究一维线性谐振子系统,其中关键的一步是把一维线性谐振子系统的哈密顿量从坐标、动量表象(Q,P)改写到占有数表象(a,a+).一般量子力学教科书中对上述的改写给学生的感觉是知其然而不知其所以然,本文从非幺正变换的角度给这一改写加以诠释,=12mP2+mω22Q2(1)其中[Q,P]=i(2)=1槡(2mω槡Q+im槡ω)Pa+=1槡(2mω槡Q-im槡ω)P(3)易证[a,a+]=1(4)式(3)之逆为Q=槡2mω(a+a+),P=-imω槡2(a-a+)(5)利用式(5),可将H表示为H(=a+a+)12ω(6)(1)到式(6)实现了从坐标Q和动量P算符过渡到玻色子的产生算符a+和湮没算符a的变换,,但a和a+皆非厄米算符;Q和P都有连续谱,而a虽有连续谱(相干态本征值谱),但相干态不正交,而且a+,说的更明确些,从(Q,P)到(a,a+)[=exp12(fP2-gQ2]),fg>0(7)由公式eABe-A=B[+A,]B+12[!A,[A,]]B+…(8)易证WQW-1=Qcosγ(-if槡gsin)γP=Q',γ≡槡fg(9)WPW-1=Pcosγ(-ig槡fsin)γQ=P'(10)其逆变换为Q()P=cosγif槡gsinγig槡fsinγcosγQ'()P'(11)于是谐振子哈密顿量H=12mP2+mω22Q2就写成第9期谢传梅,等:一维线性谐振子哈密顿量改写中的非幺正变换9H=[(12mω2cos2γ-gfmsin2)γQ'2+(1mcos2γ-fgmω2sin2)γP'2+12(Q'P'+P'Q')sin2(γmω2f槡g+1mg槡)]f(12)若取参数f和g满足m2ω2fg=tan2γ=1(13)即取g槡f=mω,sinγ=cosγ=1槡2,=i2ω(P'Q'+Q'P')(14)而且Q'=1槡(2Q-iPm)ω,P'=1槡2(-imωQ+P)(15)定义a=im