一致空间.doc

一致空间.doc一致空间维基百科,自由的百科全书汉漢▼在数学领域拓扑学中,一致空间是带有一致结构的集合。一致空间是带有用来定义一致性质如完备性、一致连续和一致收敛的附加结构的拓扑空间。在一致结构和拓扑结构之间的概念区别是在一致空间内可以形式化有关于相对邻近性和点间临近性的特定概念。换句话说,想法如“x 邻近于 a 胜过 y 邻近于 b”在一致空间是有意义的。相对的,在一般拓扑空间内,给定集合 A,B 只能有意义的说点 x“任意邻近”A(就是说在A的闭包中),或者说 A 是比 B 更小的 x 的“邻域”,但是点间邻近性和相对邻近性不能单独用拓扑结构描述。一致空间推广了度量空间和拓扑群因此是多数数学分析的根基。目录 [隐藏]1    一致覆盖定义2  可一致化空间3 一致连续4  一致空间的豪斯多夫完全5 例子6 历史7 参见8 引用[编辑]定义一致空间有三个等价定义。[编辑]周围定义一致空间 (X,Φ)是集合 X 配备了笛卡尔积 X × X 的非空子集族(Φ叫做 X 的一致结构或一致性而它的元素叫做周围(法语 entourage:邻居或周围))满足如下公理:如果 U 在Φ中,则 U 包含对角Δ={(x, x) : x ∈ X }。如果 U 在Φ中而 V 是包含 U 的 X × X 的子集,则 V 在Φ中。如果 U 和 V 在Φ中,则 U ∩ V 在Φ中。如果 U 在Φ中,则存在 V 在Φ中,使得只要(x, y)和(y, z)在 V 中,则(x, z)在 U 中。如果 U 在Φ中,则 U-1 ={(y, x) :(x, y)∈U }也在Φ中。如果省略了最后的性质则称空间为准一致的。通常写 U[x]={y :(x,y)∈U}。在图形上,典型的周围被绘制为围绕“y=x”对角的斑点;U[x]们则为纵截面。如果(x,y)∈ U,则可以说 x 和 y 是“U-邻近”的。类似的,如果在 X 的子集 A 中的所有成对的点都是 U-邻近的(就是说如果 A × A 被包含在 U 中),则 A 被称为“U-小”的。周围 U 是对称的,如果(y,x)∈ U 正好在(x,y)∈ U 的时候。第一个公理声称对于每个周围 U 每个点都是 U-邻近于自身。第三个公理保证“同时 U-邻近和 V-邻近二者”也是在一致性中的邻近关系。第四个公理声称对于每个周围 U 都有一个周围 V 是“一半大”的。最后的公理声称“邻近”关于一致结构的本质对称性质。一致性Φ的基础周围系统是Φ的周围的任何集合 B,使得所有Ф的周围包含属于 B 的一个集合。因此,通常上述性质2,基础周围系统 B 足够无歧义的指定一致Φ:Φ是包含B 的一个集合的 X × X 的子集的集合。所有一致空间都用由对称周围构成的基础周围系统。关于一致性的正确直觉可由度量空间的实例提供:如果(X,d)是度量空间,集合 这里的 形成了 X 的标准一致结构的基础周围系统。则 x 和 y 是 Ua-邻近的,正好在 x 与 y 之间距离最多为 a 的时候。一致性Φ“精细”于在同一个集合上的另一个一致性Ψ,如果Φ⊇Ψ;此时Ψ被称为“粗糙”于Φ。[编辑]伪度量定义一致空间可以使用伪度量系统来等价的定义,这是对泛函分析(带有半范数提供的伪度量)特别有用的方式。更精确地说,设 f: X × X →