一轮复习苏教版 “数列”专题提能课 学案.doc

一轮复习苏教版 “数列”专题提能课 学案.doc第四讲专题提能——“数列”专题提能课失误1因忽视对n=1的检验而失误[例1] 已知数列{an}的前n项之和为Sn=n2+n+1,则数列{an}的通项公式为________.[解析] 当n=1时,a1=S1=≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,∴an=[答案] an=[点评] 在对数列的概念的理解上,仅注意了an=Sn-Sn-1,导致出现错误答案an=,要注意进行分类讨论,能合则合,[例2] 已知一个等比数列{an}的前4项之积为,第2,3项的和为,则数列{an}的公比q=________.[解析] 设数列{an}的前4项分别为a,aq,aq2,aq3,则可得所以(1+q)4=64q2,当q>0时,可得q2-6q+1=0,解得q=3±2,当q<0时,可得q2+10q+1=0,解得q=-5±,q=3±2或q=-5±2.[答案] 3±2或-5±2[点评] 一般地,在乘积已知的条件下,三个数成等比数列时,可将此三个数分别设为,a,aq;四个数成等比数列时,可将此四个数分别设为a,aq,aq2,aq3,不要设为,,aq,,所有奇数项的符号相同,[例3] 设等比数列{an}+S6=2S9,求数列的公比q.[解] 若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故q≠+S6=2S9⇒+=2·⇒q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0,因为q≠1,所以q3-1≠0,所以2q3+1==-.[点评] 在等比数列中,a1≠0是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比q=1的情况,再在q≠1的情况下,对式子进行整理变形. 策略1构造辅助数列法:妙求数列的通项公式[例1] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为________.[解析] 因为an+1=(n∈N*),所以=+1,设+t=3,所以3t-t=1,解得t=,所以+=3,又+=1+=,所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,所以+=×3n-1=,所以=,所以an=.[答案] an=[点评] 本题条件中的递推公式取倒数后化为形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)的递推公式,再用待定系数法把此递推公式转化为an+1+t=p(an+t),其中t=,:巧解数列中的方程问题[例2] 已知数列{an}的前三项分别为a1=5,a2=6,a3=8,且数列{an}前n项和Sn满足Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m)2,其中m,{an}的通项公式an.[解] 令n=1,m=2,得S3=(S2+S4)-1,∵S2=11,S3=19,∴S4=29,a4==1,得Sn+1=(S2n+S2)-(n-1)2,令m=2,得Sn+2=(S2n+S4)-(n-2)2,∴an+2=Sn+2-Sn+1=2n-3+=2n+6=2(n+2)+2,∴an=2n+2(n≥3).又a2=6符合,a1=5不符合,∴an=[点评] 含有两个变量的方程常常让人束手无策,而实际上,如果让一个变量“定下来”,即对其中一个变量赋“常量”,就可以让问题转化为一个变量,从而找到突破口,得到所需的递推关系,顺利求解. ——解决数列基本量的求解问题[例1] 设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,求{an}的通项公式.[解] 由题意可知=,整理得Sn=(an+2)2,当n=1时,S1=(a1+2)2=a1,解得a1=+1=Sn+1-Sn,∴an+1=(an+1+2)2-(an+2)2,整理得:(an+1+an)(an+1-an-4)=∵an>0,∴an+1-an-4=0,∴an+1-an=4,即{an}是首项为2,公差为4的等差数列,∴an=4n-2.[点评] 本例利用了方程的消元思想,通过an+1=Sn+1-Sn,Sn=(an+2)2消去Sn,找到数列中相邻两项的递推关系,+1=Sn+1-Sn消去an,利用Sn+1,——解决数列前n项和的问题[例2] 设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,…).(1)求q的取值范围;(2)设bn=an+2-an+1,记{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小.[解] (1)因为{an}是