一轮复习苏教版 等差等比数列的综合问题 学案.doc

一轮复习苏教版 等差等比数列的综合问题 学案.doc第二讲大题考法——等差、等比数列的综合问题题型(一)等差、等比数列的综合运算主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和的求解,且常结合数列的递推公式命题.[典例感悟][例1] (2018·镇江期末)已知n∈N*,数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,设bn=a2n-1+a2n.(1)若数列{bn}是公比为3的等比数列,求S2n;(2)若对任意n∈N*,Sn=恒成立,求数列{an}的通项公式;(3)若S2n=3(2n-1),数列{anan+1}为等比数列,求数列{an}的通项公式.[解] (1)由题意,b1=a1+a2=1+2=3,则S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=b1+b2+…+bn==.(2)当n≥2时,由2Sn=a+n,得2Sn-1=a+n-1,两式相减得2an=a+n-(a+n-1)=a-a+1,整理得(an-1)2-a=0,即(an-an-1-1)(an+an-1-1)=0,故an-an-1=1或an+an-1=1.(*)下面证明an+an-1=1对任意的n∈N*,因为a1+a2=3,所以an+an-1=1不恒成立;若存在n∈N*,使an+an-1=1,设n0是满足上式最小的正整数,即an0+an0-1=1,显然n0>2,且an0-1∈(0,1),则an0-1+an0-2≠1,则由(*)式知,an0-1-an0-2=1,则an0-2<0,+an-1=1对任意的n∈N*恒不成立,所以an-an-1=1对任意的n∈N*{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=1+(n-1)=n.(3)设等比数列{anan+1}的公比为q,则当n≥2时,=={a2n-1},{a2n}分别是以1,2为首项,公比为q的等比数列,故a3=q,a4==2,有S4=a1+a2+a3+a4=1+2+q+2q=9,则q==2时,a2n-1=2n-1,a2n=2×2n-1=2n,bn=a2n-1+a2n=3×2n-1,此时S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=b1+b2+…+bn==3(2n-1).综上所述,an=[方法技巧]、等比数列综合问题的策略解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概念,设出相应的基本量,然后充分使用通项公式、求和公式、,弄懂来龙去脉,+1项合并在一起,,则考虑是否可以将an与Sn进行统一,再根据递推关系式的结构特征确定是否为熟悉的、有固定方法的递推关系式向通项公式转换的类型,否则可以写出数列的前几项,看能否找到规律,即先特殊、后一般、再特殊.[演练冲关] 设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为其前n项和,已知S3=7,a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an+lnan,求数列{bn}:(1)设数列{an}的公比为q(q>1).由题意,得即由q>1,解得故数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)得bn=2n-1+(n-1)ln2,所以Tn=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]ln2=+ln2=2n-1+(二)等差、等比数列的判定与证明主要考查等差与等比数列的定义、等差与等比中项,且常与数列的递推公式结合命题.[典例感悟][例2] (2018·苏北四市期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=2,Sn=λnan+μan-1,其中n≥2,n∈N*,λ,μ∈R.(1)若λ=0,μ=4,bn=an+1-2an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列;(2)若数列{an}是等比数列,求λ,μ的值;(3)若a2=3,且λ+μ=,求证:数列{an}是等差数列.[解] (1)证明:若λ=0,μ=4,则Sn=4an-1(n≥2),所以an+1=Sn+1-Sn=4(an-an-1),即an+1-2an=2(an-2an-1),所以bn=2bn-=2,a1+a2=4a1,得a2=3a1=6,a2-2a1=2≠0,即bn≠0,所以=2,故数列{bn}是等比数列.(2)若{an}是等比数列,设其公比为q(q≠0).当n=2时,S2=2λa2+μa1,即a1+a2=2λa2+μa1,得1+q=2λq+μ.①当n=3时,S3=3λa3+μa2,即a1+a2+a3=3λa3+μa2,得1+q+q2=3λq2+μq.②当n=4时,S4=4λa4+μa3,即a