一道四边形题的多种解法.doc

一道四边形题的多种解法.doc一道四边形题的多种解法很多问题的解决方法往往不唯一。如果同学们能够善于研究、善于挖掘,往往会发现多种解法,正所谓条条大路通罗马!请看下面一例。已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB。图1求证:CG=DE+DF。分析:本题要求证的是一条线段等于另外两条线段的和,直接证明有一定的难度,常用的方法是截长补短,因此要考虑添加辅助线,转化为证明两条线段相等。法一:如图1,过点D作DH⊥CG。则四边形DEGH为矩形。∴DE=GH又在△CDF和△DCH中,∠CFD=∠DHC=90°,∠FCD=∠B=∠HDC,CD=CD∴CH=DF∴CG=CH+GH=DE+DF法二:(截长法)如图2,过点E作EM//CD交CG于点M。图2由DE//CG知四边形CDEM是平行四边形。∴DE=CM,EM=CD又在△MGE和△DFC中,∠EGM=∠CFD=90°,∠FCD=∠B=∠GEM,EM=CD∴GM=DF∴CG=CM+GM=DE+DF法三:如图3,过点C作CH⊥ED,交ED的延长线于点H。则四边形CGEH是矩形。∴CG=EH图3又在△DHC和△DFC中,∠CHD=∠CFD=90°,∠FCD=∠B=∠DCH,CD=CD∴CG=EH=DE+DH=DE+DF法四:如图4,延长DE到点M,使DM=CG,并连接MG。则四边形CDMG是平行四边形。图4∴MG=DC又在△MEG和△DFC中,∠GEM=∠CFD=90°,∠FCD=∠B=∠MGE,MG=DC,法五:如图5,过点B作BM⊥FD交FD的延长线于点M,作BH⊥AC交AC于点H。则知四边形BMFH是矩形。图5∴BH=MF又在△BCG和△CBH中,∠BGC=∠CHB=90°,∠GBC=∠BCH,BC=CB∴又在△BDE和△BDM中,∠BED=∠BMD=90°,∠EBD=∠ACB=∠DBM,BD=BD,∴∴DG=BH=MF=MD+DF=DE+DF法六:(补短法)如图6,过点B作BM⊥FD交FD的延长线于点M,⊥BM交BM的延长线于点N。则知四边形MNCF是矩形。=FM又在△BCG和△BCN中,∠BGC=∠BNC=90°,∠GBC=∠ACB=∠CBN,BC=BC∴又在△BD