飞行管理问题.doc

§ 飞行管理问题[学****目标]能表述飞行管理问题的分析过程;能表述模型的建立方法;会采用分割枚举法计算非线性优化问题;会利用Mathematica求解飞行管理问题。一、问题在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内,经常冇若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。如果发生相撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机的飞行方向角,以避免碰撞。现假设条件如下:不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;所有飞机的飞行速度均为每小时800公里;进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里以上;最多需考虑6架飞机;不必考虑飞机离开此区域后的情况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的坐标为(0,0), (160,0), (160,160), (0,160)。记录数据为:飞机编号横坐标纵坐标方向角(度):方向角指飞行方向与兀轴正向的夹角。二、 (巾,加)第「架飞机的初始位置如第i架飞机的初始方向角△母/第i架飞机的方向角cosa,-coscijXiO-Xjo偏差平方和函数v飞机速率Sjjsinaj-sincij△Yijyio-yjOm 步长的缩小倍数Uij 两架飞机尺相对匕速度 hij两架飞机尺相对什位移2•分析及建立模型该问题显然是一个优化问题。H标为齐飞机调整的角度最小,约束条件为按调整后的角度飞行,任意两架飞机在区域内的距离大于8公里,各飞机飞行方向的调整角度为约束变量。可取目标函数为各飞机调整角度的平方和,即/=》(%•-©A。根据相对运动原理,飞机几相对于P/的相对速度为呦=(vCij,vSij),飞机几相对于号的位移为如=(△切△沟),容易知,飞行中飞机尺到鬥•的可能的最短距离(点到直线的距离)为1严IPjB|,利用呦和若呦和如的方向一致(夹角<90°),则尺与匕•不会相撞。而仍>64等价于&如•呦二△+△旳S°>0,故问题的约束条件为:而仍>64或卩=如•呦=4切©+△沟S”>0,从而数学模型为:•/=工(4-勺0'2二 _C”△儿•)>64或T=hij*Uq=AXjjCy+AyjjSy>0三、 模型的求解显然,此问题是一个非线性优化问题。我们采用分割枚举法对其求解。分割枚举法的原理很简单:将优化区域进行分割(构造多重循环),对所有可能的解(分割网格点)进行枚举判断,直接得出在一定精度范帀内的最优解。但如果不使用任何技巧进行分割枚举,必将耗费大量时间。以本题为例,若在[-10,10]度的范围内进行分割枚举,,需用六层循环,约计算(20/)6=,,,约等于六千万年。为在较短的时间内求得一个较精确的解,在分割枚举的基础上,采用逐步求精的方法