高数(基础)常熟.docx

高数(基础)常熟.docx第一讲函数极限与连续第一节函数函数的概念(定义,定义域,对应法则,值域):对VM/,存在尸/(QwR,则称y是兀的函数,其中/•称为对应法则,/称定义域,/?称值域。函数的基本特性1•单调性::设函数y=fM在区间/上有定义,若对于/上任意两点坷与兀2,且兀2时,均有/(%!)</(x2)(W(^)>/(x2)),则称函数门兀)在区间/上单调增加(或单调减少)。如果其中的“V”或“〉”改为“S”(或稱数/⑴在/上单调不减(或单调不增)。判定:(1)定义:导数:设/(%)在区间/上可导,贝U/(x)>0<=>/⑴单调不减;/'(x)>O<=>/(x)单调增;【评注】(1)判断抽象的函数的单调性,在考试时采用举反例排除法,而尽量不用单调性的定义进行证明;(2)导数大于零的函数一定单调递增,但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零,其导数也可能等于零。奇偶性:定义1・2:设函数/⑴的定义域Q关于原点对称(即若xeD,则必有-xeD),如果对于任一xwD,有f(-x)=f(x)(或/(-x)=-f(x))恒成立,则称/(X)为偶函数(或奇函数)。几何图形:偶函数:图像关于y轴对称;奇函数:具图像关于坐标原点对称判定:(1)定义:设/(兀)可导,WJ:/(x)是奇函数=>/'(兀)是偶函数;/(兀)是偶函数=>f(x)是奇函数;(3)连续的奇函数其原函数都是偶函数;连续的偶函数其原函数Z—是奇函数。:设函数/(\使得対于任意xeD有(x+r)e£>,M/(x+T)=于(兀)恒成立,则称于(兀)为周期函数。使上述关系成立的最小正数T称为/(切的最小正周期。简称为函数/(兀)的周期。判定:(1)定义:(2) 可导的周期函数其导函数为周期函数;(3) 周期函数的原曲数不一眾是周期函数;:若存在M>0,使得VxgZ,有l/(x)\<M(f(x)<M ),则称/(x)在/上有界(有上界或下界);否则,称于⑴在区间/上无界。判定:(1)定义:(2) 于(兀)在[讪上连续=>/⑴在[讪上有界;(3) /⑴在(恥)上连续,月J(q+0)和/(b-0)存在»(兀)在@上)上有界;(4) 广(力在区间/(有限)上有界=>/(%)在/上有界;【评注】:(1)有界性与区间有关。(2)函数/(兀)在/上有界的充要条件是/(兀)在/上既有上界又有下界。三、函数的分类:=f(x)的定义域为D,值域为若VyeR,有唯一确定的一个值,若把y作为自变量,兀作为因变量,便得一个函数兀w(y),且/W(y)]=y则称x=(p(y)为函数y=/(X)的反函数。也记为y=f心)。注:在同一直角坐标系下,函数y=f(x)的图像与其反函数x—(y)的图像重合,》,=/(兀)的图像与其反函数〉,=f~\x)的图像关于yr对称。复合函数定义1・6设函数y=f(u)的定义域为Q/,谨数u=(pM的值域为",若集合Df与Z申的交集非空,称函数y=/"(X)]为函数y=/(u)与u=(pM复合而成的复合函数,u为屮间变量。【评注】对复合函数,重要的是会把它分解,即知道它是由哪些“简单”函数复合的。重点掌握函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合。、复合运算所得到的可以用一个解析式表示的函数称为初等函数。【评注L(1)基本初等函数1幕函数= 2指数函数y=ax(«>0且“工1);3对数函数:y=log:(°>);4三角函数:如y=sinx,y=cosx,y=tanx等;5反二角函数:如y=arcsinx,y=osx,y=arctanx等.(2)基本初等函数定义域、性质和图形必须牢记。(x)=/jWAWx>cix<a;fM=fMa【评注】:常见的分段函数1)2)绝对值函数卜|={;:第兀〉0符号函数sgnX=0,x=0—1,兀<03)取整函数 卜]表示不超过兀的最大整数4)最大值函数max{f{(x),/2(x)}=j\:畀-彳畀最小值函数min{/1(x)J2(x)}=H饮手畀I/](兀)/IW</2(x)5•(x,y)=0中,当取x某区间内的任一值时,相应地总有满足这一方程的唯一y值存在,那么就说方程在该区间内确定的一个隐函数y=,a<t</37•幕指函数:y=u(x)v(x\u(x)>0);8•极限、变限积分确定的函数:如/(x)=lim(lr:?兀,y=r\f^dt;n-x»1+x" etz(x)题型一函数的概念及建立函数关系【例1】已知/(x+l)的定义域为[0,a](a>0),则/(兀)的定义域为()[-1,a