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高数基础讲义.docx基础班微积分第1讲预备知识函数概念数列极限引言微积分的基本内容与基本方法1微积分的基本内容•总的来说:研究函数的种种表示及性质。•细一点说,五大块内容:两主块,两工具,一应用。一元微积分学;多元微积分学;(1,2为主块)向量代数与空间解析几何;级数;(3,4为工具)微分方程。(这是应用分支)2微积分的基本方法•总的来说:极限分析方法。•细一点说,五种基本方法或观点:变化观点•…在变化中考察,常量与变量的转化。函数观点--将常量放到函数中去研究。极限观点•…研究变化趋势,解决对无限的认识。分析观点--无限小阶的分析、函数的逼近。变换观点•…通过变换,将未知化己知,将复杂化简单。•就如何做题的建议第一节函数概念、•绝对值•基本不等式例证明对任意实数x€(0,—),有sin(sinx)<sinx。27T Tt证:显然当XG(0,-)时,有0vsin兀<1<上,由不等式(3),即2有木题不等式。(兀(),5)={兀x-x()<3,3>0}o去心邻域 J)={x|0<x-x0< >0}:对实数集X小的任意兀,按某-确定的规则,若有唯一确定的实数值y与Z对应,则称y是工的函数,记为y=f(x)o/:XtY,XuR,或「・XtR,XuR°x例已知某商品的市场需求函数为P(x)=12--,其中/为销售量,P(x)表示该商站的单位价格,并且C(x)=40+2x,表示产量为*的成木函数。求利润函数L(x)o解:利润二收入一成本,因此得出利润函数为19L(x)=xP(x)一C(x)=10x——x2-40,(x>0)o4例求函数y= 的定义域:(x+l)Vl-^2x解:欲使该函数冇意义,自变量必须满足l-e2x>0且工式一1,由此得定义域为工<0且兀工一1。•增减性(单调性)奇偶性广义奇偶性(偶对称与奇对称)•周期性••函数的四则运算复合函数例设"0=在,"1‘求/表达式1 Y—1解:由/(X)的定义可得/(/«)=--—=-—,1-/W兀/[/(/⑴)]="'彳命卜!因此/[/(/°))}彳缶卜1,匕工1)。例已知/(%+1)=X2+1,求/(X)表达式。解:/(兀+1)=(兀+1)2—2(兀+1)+2,因此/(%)=x2-2x+2o注:或利用变量置换法,令/=x+l,则x=/-l,则有/(r)=(r-l)2+l,即/(x)=x2-2x+2ofsinx,x>0 [-1 x<\例设/W=1 . 介,0(力={ ,[~s\nx,x<0 [1 x>1求/(0(兀)),0(/0))的表达式。解:f((p(x))=Jsin^?(%), (p(x)>0,[-sin^O),(p(x)<0sin1,x>1,=sinl.-sin(-l),x<1▲15iny=/(0(x))sin10521'■■■i■■■■?-1,/UXl,1,/W>1▲~1051ni ry=0(/(兀))152011,X=—+k7U,2一1,土sin”1,h±sinx=1—1,XH Fk7C、2例已知2/(x)+/(l-x)=x2,求/(兀)表达式。解:(方法1)比较系数法/(l-x)为兀的复合函数,而*系由/(X)与/(I-X)线性组合运算得到,因此/(工)只能是多项式函数,并且最高次数为二次,于是可令f(x)=ax2+bx+c,山己知等式采用待定系数法求解。1 9 1比较两端同次幕系数解出:rrr最后得到2(ax2+bx+c)+a(l-x)2+方(1一兀)+c=x2,f(x)=-x2+-X--3 3(方法2)变量置换法令t=l-x,x=l-t,由已知等式可得到2/(1-0+/(0=(1-02,或记为2/(1-X)+/(X)=(1-x)2,将此式与己知等式联合消去/(1-x)1 2 1刊解出f(X)=—X24 X •3 3 3•反函数10X—1例求函数尸応吋的值域。解:直接求该函数的值域不很方便。止我们来考虑其反函数的定义域。由),心102v+l可解出―岂1+换记号记为y=-\g^9求此函数的定义域。1—x1+% 1+兀〉0 1+x<0应满足h。'叫一〉。或一<0第二组不等式无解,第一组不等式的解为X<1,因此所求函数的值域为yg(-1,1).•隐函数例,园的方程%2+/-1=0在圆周%2+/=1上除去两点(-1,0)与(1,0)Z外的任意点的邻域内均可确定一个单值函数y=y(x).如在点(T,T)的某邻域内可以确定函数,=",(卜I<1)•5J2 在点(冷-,一冷-)的某邻域内可,确定函数y=-Vi-%2,(卜|<1)o•参数方程表达的函数[x=x(t)若对于参变最teT都可由方程\ ,teT.[y=y(O唯一确定点(兀,y