判断函数奇偶性常见错误例析.doc

初学函数奇偶性概念的同学,在利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性时,有以下几种常见错误。注:具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的,不能把定义域分割开1、概念不清例1判断函数(x)=3x2,x的奇偶性。错解∴题给函数是偶函数。剖析由奇(偶)函数的定义,“对于函数定义域内任意一个,都有(或)……”,不难推得,具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的。此题中,函数的定义域并不关于原点对称,无定义,所以题给函数既不是奇函数也不是偶函数。2、错用定义例2判断函数的奇偶性。错解∵当<0时,,当,, ∴当时,题给函数是偶函数; 当时,题给函数是奇函数。剖析函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的,不能把定义域分割开来,“当时,函数是偶函数;当时,函数又是奇函数。”的说法是错误的。其实,当时,;当时,。故,题给函数既不是奇函数也不是偶函数。3、变形不彻底例3判断函数的奇偶性。错解∵, ∴。题给函数既不是奇函数也不是偶函数。剖析将上式进一步变形可得∴题给函数是奇函数。4、函数本质认识不透例4判断函数的奇偶性。错解∵, ∴。题给函数是偶函数,但不是奇函数。剖析表面上看,以上结论无懈可击,但考虑到函数的定义域是{-1,1},值域是{0},故函数的解析式可简化为,∴。题给函数既是奇函数又是偶函数。5、因小失大例5判断函数的奇偶性。误解∵当时, 当时, ∴题给函数是奇函数。剖析∵当时,有或,即对同一个值0,通过法则并非有“唯一确定”的值与之对应,故题给的对应法则连函数都不是,更谈不上是奇函数还是偶函数。6、顾此失彼例6判断函数的奇偶性。错解∵当时,, 当时,, ∴题给函数是奇函数。剖析∵尽管对定义域的每一个成立。但当时,, ∴题给函数既不是奇函数也不是偶函数。此外,应特别注意,若函数是奇函数,则对定义域内的每一个,有,特别当属于定义域时,有,∴。因此,一般地有结论:奇函数要么在处没有定义,要么在处的函数值为0,即。在例5、例6中如果能去掉函数(对应法则)在处的定义,(或在处定义)那么,这个函数就是奇函数了。另外,在判断函数奇偶性时,如把的表达式进行变形后判断其是否与±相等的计算量比较大,则往往改为判断是否为0较简单,这是判断函数奇偶性的一个技巧,本文例3就可运用这一技巧。又如,判断函数的奇偶性(读者自己完成)也可运用这一技巧。