何晓群版多元统计课后作业答案.doc

,为什么通常要进行标准化处理?数据的标准化(normalization)是将数据按比例缩放,使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到,去除数据的单位限制,将其转化为无量纲的纯数值,便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是0-1标准化和Z标准化。(1)0-1标准化(0-1normalization) 也叫离差标准化,是对原始数据的线性变换,使结果落到[0,1]区间,转换函数如下: 其中max为样本数据的最大值,min为样本数据的最小值。这种方法有一个缺陷就是当有新数据加入时,可能导致max和min的变化,需要重新定义。(2)Z-score标准化(zero-meannormalization) 也叫标准差标准化,经过处理的数据符合标准正态分布,即均值为0,标准差为1,也是SPSS中最为常用的标准化方法,其转化函数为:  其中μ为所有样本数据的均值,σ为所有样本数据的标准差。2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么?欧氏距离(Euclideandistance)也称欧几里得度量、欧几里得度量,是一个通常采用的距离定义,它是在m维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。缺点:就大部分统计问题而言,欧氏距离是不能令人满意的。(每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标表示测量值时,它们往往带有大小不等的随机波动,在这种情况下,合理的方法是对坐标加权,使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数,这就产生了各种距离。当各个分量为不同性质的量时,“距离”的大小与指标的单位有关。它将样品的不同属性(即各指标或各变量)之间的差别等同看待,这一点有时不能满足实际要求。没有考虑到总体变异对距离远近的影响。马氏距离(Mahalanobisdistance)是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的,表示数据的协方差距离。为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。对于一个均值为μ,协方差矩阵为Σ的多变量向量,样本与总体的马氏距离为(dm)^2=(x-μ)'Σ^(-1)(x-μ)。在绝大多数情况下,马氏距离是可以顺利计算的,但是马氏距离的计算是不稳定的,不稳定的来源是协方差矩阵,这也是马氏距离与欧式距离的最大差异之处。优点:它不受量纲的影响,两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。(它考虑到各种特性之间的联系(例如:一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息,因为两者是有关联的)并且是尺度无关的(scale-invariant),即独立于测量尺度);由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差)计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。缺点:夸大了变化微小的变量的作用。受协方差矩阵不稳定的影响,马氏距离并不总是能顺利计算出。3、当变量X1和X2方向上的变差相等,且与互相独立时,采用欧氏距离与统计距离是否一致?统计距离区别于欧式距离,此距离要依赖样本的方差和协方差,能够体现各变量在变差大小上的不同,以及优势存在的相关性,还要求距离与各变量所用的单位无关。如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵,则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。均值向量和协方差阵的检验3、多元均值检验,从题意知道,容量为9的样本,总体协方差未知假设H0:,H1:(n=9p=5)检验统计量/(n-1)服从P,n-1的分布统计量实际上是样本均值与已知总体均值之间的马氏距离再乘以n*(n-1),这个值越大,相等的可能性越小,备择假设成立时,有变大的趋势,所以拒绝域选择值较大的右侧部分,也可以转变为F统计量零假设的拒绝区域{(n-p)/[(n-1)*p]}*>1/10*>F5,4(5)μ0=( )’样本均值( )’(样本均值-μ0)’=(- - )协方差矩阵(降维——因子分析——抽取)Inter-ItemCovarianceMatrix人均GDP(元)三产比重(%)人均消费(元)人口增长(%)文盲半文盲(%)人均GDP(元)--(%)-(元)--213