不定积分的基本公式和运算法则直接积分法.docx

·复****1 原函数的定义。2 不定积分的定义。 3 不定积分的性质。 4 不定积分的几何意义。·引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上,我们进一步来讨论不定积分的计算问题,不定积分的计算方法主要有三种:直接积分法、换元积分法和分部积分法。·讲授新课第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法一 基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算, 所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下:导数公式(kx)k2(1x2)x231)1(x2x4(lnx)1x5(x1)x1微分公式d(kx)kdxd(1x2)xdx211d(x)x2dxd(lnx)1dxxd(x1)xdx1积分公式kdx kx C(k 0)xdx1x2C21dx1Cx2x1dxlnxCxxdxx1C1(1)6(ex)ex7(ax)axlna8(sinx)cosxd(ex)exdxexdxexCd(ax)axdxaxdxaxClnalnad(sinx)cosxdxcosxdxsinxC9 (cosx) sinx d(cosx) sinxdx sinxdx cosx C11 (tanx) sec2xdx d(tanx) sec2xdx0221(cotx)cscxd(cotx)cscxdx11(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdx21(csc)xcscxcotxd(csc)xcscxcotxdx311d(arctanx)1dx(arctanx)2x21x1411d(arcsinx)1dx(arcsinx)221x1x5osx12sin2dxcscxdxcotxCxsecxtanxdx scxcotxdx cscx C1dxarctanxC1x21dx arcsinx C1 x2以上十五个公式是求不定积分的基础,必须熟记,不仅要记右端的结果,还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。.(1)12dx(2)xxdx1x21解:(1)x2dx=x2dxxC1C21x35(2)xxdx=x2dx2Cx25此例表明,对某些分式或根式函数求不定积分时,可先把它们化为x的形式,然后应用幂函数的积分公式求积分。二 不定积分的基本运算法则2法则1 两个函数代数和的积分,等于各函数积分的代数和,即[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x) 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即kf(x)dxkf(x)dx(k0)例2求(2x31ex)dx解(2x31ex)dx=2x3dx+dx-exdx=1x4xexC。2注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数, 但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数,因为任意常数之和还是任意常数,所以这里只把它的和 C写在末尾,以后仿此。注 检验解放的结果是否正确,只把结果求导,看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于(1x4 x ex C)=2x3 1 ex,所以结果是正确的。2三 直接积分法在求积分的问题中,可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时,被积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结果,这样的积分方法叫直接积分法。例3求下列不定积分.(1)(x1)(x1)dx(2)x21dxxx21解:(1)首先把被积函数(x1)x(1化为和式,然后再逐项积分得)x(x1)(x1)dx(xxx11x)dxx3xxdxxdx51x22x2x2x5212dx 1dxx。注:(1)求函数的不定积分时积分常数 C不能丢掉,否则就会出现概念性的错误。(2)等式右端的每个不定积分都有一个积分常数,因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数,所以只要在结果中写一个积分常数 C即可。(3)检验积分计算是否正确,只需对积分结果求导,看它是否等于被积函数。若相等,积分结果是正确的,否则是错误的。(2)x21dxx212dx(12)dxx21x21x21dx2dxx2arctanxC。x21上例的解题思路是设法化被积函数为和式,然后再逐项积分,是一种重要的解题方法,须掌握。x33x22x42x21x42dx。练****1x2dx,22(x2dx,31xx1)答案11x23x2ln|x|4C,2arctanx1C,2xx31x3xarctanxC3例4求下列不定积分.(1)tan2xdx(2)sin2xdx2解:(1)tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdxtanxxC(2)sin2x1cosx11sinxCdx2dxx222上例的解题思路也是设法化被积函数为和式,然后再逐项积分,不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。4练****1cot2xdx2cos2xdx3