问题71多面体与球的组合体问题.doc

专题多面体与球的组合体问题综述 42球与锥体的组合体 73球与球的组合体 84球与几何体的各条棱相切 95与三视图相结合的组合体问题 9综述在各类考试中,与球有关的问题往往是:一个几何体的所有顶点在球上,此球即为外接球,确定其半径的方法主要是:将几何体补为长方体或正方体,化为这两种特殊几何体的外接球问题;利用外接球的球心的特点(到几何体所有顶点的距离相等,先确定球心的轨迹,再列等式,解得半径;内切球也即球在几何体内部,与其所有侧面均相切,这种球的半径往往用体积公式来确定,此类问题出现较少。,正方体,设正方体的棱长为,为棱的中点,:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形和其内切圆,则;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形和其外接圆,则;三是球为正方体的外接球,截面图为长方形和其外接圆,,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为()A. B. C. :由题意可知,.【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为() 【答案】B【解析】体积最大的球是其内切球,即球半径为1,所以表面积为. ,不一定存在内切球(只有为正方体时才有).设长方体的棱长为其体对角线为,则,外接球的半径例2在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为()A. C. :该球正好与长方体内切,它的运动轨迹是上下各半个小球,和一个高为2的圆柱,。设正三棱柱的高为底面边长为,如图2所示,,球心必落在高的中点,借助直角三角形的勾股定理,,则正四棱柱的侧面积有最值,为.【牛刀小试】直三棱柱的六个顶点都在球的球面上,若,,,则球的表面积为(),即所有棱长均相等的三棱锥,它既存在外接球,也存在内切球,两心合一。外接球的半径为,内切球的半径为,二者是4:1的关系,可以用体积来证明。例(2005全国卷2)将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()++D.[来源:学&科&网]解:四个小球放在正四面体中,每个角内一个,且小球在角内与汇于此角的三个面相切,4个小球同时在中部互相相切。把四个小球的圆心连起来,得到一个小的正四面体,这个小正四面体的是2,则这个小正四面体的高为。小正四面体和原来正四面体的中心是重合的,中心到小四面体各面的距离为,那么中心到原来正四面体各面的距离应为,,可以补为长(正)方体,因此也就转化为前面提到的问题。例5在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,:正三棱锥本身有一个特点:对棱互相垂直。本题中,AC⊥SB,又SB∥MN,由已知得AM⊥SB,于是SB⊥平面SAC,从而SA⊥SC,也即此三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度相等,将其补为正方体,易得外接球半径为3,表面积为36π。【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为():补为长方体,外接球半径为,,根据截面图的特点,,-ABC中,PA=PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为()A. B. :已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为____________.[[来源:学科网]变式2:(2008年浙江高考题)已知球的面上四点A、B、C