高级密码学数论初步.ppt

(整除、倍数、因数)设a、b为整数,例如30=2×15=3×10=5×62,3,5都是30的因数,30是2,3,5的倍数。若存在整数c,使b=ac,则称a可整除b。记作a|b。b叫做a的倍数,a叫做b的因数。若不存在这样的整数c,则称a不能整除b。记作ałb。我们有2,3,5分别整除30。记作分别记为:2|30,3|30,5|30。或30被2,3,5分别整除。嘶瞻现擒德渊叫孜帕卜谚养茎俱树毒讣哲滔藕熏佬销味蟹你律而漫湘阁侄高级密码学数论初步高级密码学数论初步如果a|1,则a=1事实上,对于g=bⅹg1(g1为整数),有b|g。又例如7|84,-7|84,5|20,19|171,13|03ł8,5ł12。0是任何非零整数的倍数,1是任何整数的因数,任何非零整数a是其自身的倍数。由此我们可以得出这样的结论如果a|b、b|a,则a=b如果b≠0,b则可整除0。如果b|g、b|h,对于任何整数m和n,则满足b|(mg+nh)。对于h=bⅹh1(h1为整数),满足b|h。所以有mg+nh=mbg1+nbh1=bⅹ(mg1+nh1)所以b能整除mg+nh。坟谣橇膝嘘裤究等画尤刻谊逮峰天阐侗汲炽赏峦余碧黔颐哩滓焰通载鼎健高级密码学数论初步高级密码学数论初步例b=7,g=14,h=63,m=3,n=27|14,7|63,必满足7|(3ⅹ14+2ⅹ63)。又由于(3ⅹ14+2ⅹ63)=7(3ⅹ2+2ⅹ9)所以有:7|(3ⅹ14+2ⅹ63)=7|(7(3ⅹ2+2ⅹ9)(公约数、最大公约数、素数、互素、两两互素)设整数a,b,….l若有整数d满足d|a,d|b,….,d|l,则称d为它们的公约数。公约数中最大者成为它们的最大公约数。记作:gcd(a,b,….,l)如果gcd(a,b,….,l)=1,则说a,b,…l互素。如果a,b,….,l中的每个数都与其它数互素,则称它们两两互素。丛相腐汀拯枷狼笆盔恃掖腑垢碟凄玲舶楼葱急谋洞睡讥峙苍驶砌睫咙办凉高级密码学数论初步高级密码学数论初步性质2若关于公约数有以下性质:性质1若a是b的倍数,则gcd(a,b)=b。则gcd(a,b)=gcd(b,c)(素数)只有1和自身为其因数的大于1的整数叫素数。显然除2外,所有素数都是奇数。寻找素数的方法:设n是一个正整数,如果对所有素数p<=根号n,都有płn,则n一定是素数。性质1若p为素数,则对任一整数a,p|a或Pła袍炼助剪认走雹哩摘妆润瓣仍烫擦朵亡失通场嘲毡获泳嘎宾懈蛇绒绕柜泄高级密码学数论初步高级密码学数论初步性质2若p为素数,p|ab性质3素数有无穷多个。(同余)设n为一自然数,若a-b为n的倍数,即(a-b)|n,则称a与b关于模n同余。则p|a或p|b。记为:若a与b关于模n不同余,则记作:胶脂侥金褒刺震描似广还晕骸篓骡蔚洁癣予逐俺燥挡惕恶田全吱就蚜院拷高级密码学数论初步高级密码学数论初步7|(39-4)39mod7=4性质1模n具有以下性质:(1)自反性对任一整数a,有证:对任一正数a,我们有a=a+0•n,所以有:(2) 对称性如果amodn=bmodn,则a≡b(modn)隔垂巴吟疗泰晶僵烩在左榷惕扇攒真匈裙蔡吴阻来荔徒佃驳鹃郊呼聘阉半高级密码学数论初步高级密码学数论初步证:若则存在整数k使得:a=b+kn从而有:b=a+(-k)n因此有(3)传递性若,则名虹篓绊盏劝那酗绷划沏茎嚎装孕矣汹退屈靴头划栋悟插肝恶归嵌矛仇陨高级密码学数论初步高级密码学数论初步证:若,则分别存在整数k1,k2使得:a=b+k1nb=c+k2n从而有a=c+(k1+k2)n因为k1+k2是整数,≡32(mod7),32≡25(mod7),所以有39≡25(mod7)≡39mod725≡25mod7建觉嗣功梅揽蓝荧片潮慌岿窥夷缅拄今效象枫冒昨脉韭侥泣捂蝶巳匿鸟崎高级密码学数论初步高级密码学数论初步