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空间几何体的内切球与外接球问题空间几何体的内切球与外接球问题1.[2016·全国卷Ⅱ]体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )[解析]A 因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为2,所以正方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=.[2016·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC­⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ).[解析]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为r1,∵AB⊥BC,AB=6,BC=8,∴8-r1+6-r1=10,解得r1=2,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为r2,则2r2=3,即r2=.∴球的最大半径为,故V的最大值为π×=.[2016·郑州模拟]在平行四边形ABCD中,∠CBA=120°,AD=4,对角线BD=2,将其沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一球面上,:π;解析:因为∠CBA=120°,所以∠DAB=60°,在三角形ABD中,由余弦定理得(2)2=42+AB2-2×4·AB·cos60°,解得AB=2,所以AB⊥⊥平面BCD,即有AB⊥平面BCD,如图所示,可知A,B,C,D可看作一个长方体中的四个顶点,长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径,易知AC==2,.[2016·山西右玉一中模拟]球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S­ABC的体积的最大值为( );[解析](1)由于平面SAB⊥平面ABC,所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上,根据球的对称性可知,当S在“最高点”,即H为AB的中点时,SH最大,此时棱锥S­△ABC是边长为2的正三角形,所以球的半径r=OC=CH=××2=.在Rt△SHO中,OH=OC=,所以SH==1,故所求体积的最大值为××22×1=.5.[2016·赣州模拟]如图7­38­19所示,设A,B,C,D为球O上四点,AB,AC,AD两两垂直,且AB=AC=,若AD=R(R为球O的半径),则球O的表面积为( )图7­38­;解析:因为AB,AC,AD两两垂直,所以以AB,AC,AD为棱构建一个长方体,如图所示,则长方体的各顶点均在球面上,AB=AC=,所以AE=,AD=R,DE=2R,则有R2+6=(2R)2,解得R=,所以球的表面积S=4πR2=.[2016·安徽皖南八校三联]如图所示,已知三棱锥A­BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且AC=,BC=2,CD=,则球O的表面积为( )[解析]A 由AC⊥平面BCD,BC⊥CD知三棱锥A­BCD能够补成以AC,BC,CD为三条棱的长方体,设球O的半径为R,则有(2R)2=AC2+BC2+CD2=3+4+5=12,所以S球=4πR2=.[2016·福建泉州质检]已知A,B,C在球O的球面上,AB=1,BC=2,∠ABC=60°,且点O到平面ABC的距离为2,:20π[解析]在△ABC中用余弦定理求得AC=,据勾股定理得∠BAC为直角,故BC的中点O1即为△ABC所在小圆的圆心,则OO1⊥平面ABC,在直角三角形OO1B中可求得球的半径r=,则球O的表面积S=4πr2=.[2016·河南中原名校一联]如图K38­16所示,ABCD­A1B1C1D1是边长为1的正方体,S­ABCD是高为1的正四棱锥,若点S,A1,B1,C1,D1在同一个球面上,则该球的表面积为( )图K38­;[解析]如图所示作辅助线,易知球心O在SG1上,设OG1=x,则OB1=SO=2-x,同时由正方体的性质知B1G1=,则在Rt△OB1G1中,由勾股定理得OB=G1B+OG,即(2-x)2=x2+,解得x=,所以球的半径R=2-=,所以球的表面积S=4πR2=.[2013·课标全国Ⅰ]如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) :设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,=2,BA=4,OB