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等腰三角形性质:三线合一”专题等腰三角形性质:三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之,如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合,那么这个三角形就是等腰三角形。【例题讲解】如图所示,在等腰△ABC中,AD是BC边上的中线,点E在AD上。求证:BE=CE。变式练****1-1如图,在△ABC中,AB=AC,D是形外一点,且BD=CD。求证:AD垂直平分BC。变式练****1-2已知,如图所示,AD是△ABC,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证:AD垂直平分EF。ABBCED例二:如图△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,若CD=4,且△BDC周长为24,求AE的长度。,一腰上的高与底边所夹的角是,则与的关系式为=___________。图1分析:如图1,AB=AC,BD⊥AC于D,作底边BC上的高AE,E为垂足,则可知∠EAC=∠EAB,又∠,所以。:如图2,△ABC中,AB=AC,CE⊥AE于E,,E在△ABC外,求证:∠ACE=∠B。图2分析:欲证∠ACE=∠B,由于AC=AB,因此只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形,即做底边BC上的高即可。证明:作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴又∵,∴BD=CE。在Rt△ABD和Rt△ACE中,AB=AC,BD=CE,∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL)。∴∠ACE=∠:如图3,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,E为BC延长线一点,CE=CD,DM⊥BC于M,求证:M是BE的中点。图3分析:欲证M是BE的中点,已知DM⊥BC,因此只需证DB=DE,即证∠DBE=∠E,根据等边△ABC,BD是中线,可知∠DBC=30°,因此只需证∠E=30°。证明:联结BD,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°∵CD=CE,∴∠CDE=∠E=30°∵BD是AC边上中线,∴BD平分∠ABC,即∠DBC=30°∴∠DBE=∠E。∴DB=DE又∵DM⊥BE,∴DM是BE边上的中线,即M是BE的中点。巩固练****一:1、已知的周长为,且,又,D为垂足,的周长为,那么AD的长为()、如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=30,AD=AE,则∠EDC=() 第4题图ABDEC 、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则图中全等三角形共有( )2对 B、3对 C、4对 D、5对4、如图,在等腰直角△ABC中,AD为斜边上的高,以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F,连结EF与AD相交于G,则∠AED与∠AGF的关系为()A.∠AED>∠AGFB.∠AED=∠AGFC.∠AED<∠、如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,且BD=BE,∠A=84°,则∠DEC=CABDEADCBEAAA 第7题图BAEDFC 第5题图 第6题图6、如图,CE平分∠ACB,且CE⊥BD,DA=DB,又知AC=18,△CDB的周长为28,那么BE的长为。7、如图,在等腰△ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,则△ABC的面积为8、、如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于E点,若AC平分∠DAB,且AB=AE,AC=AD,有如下四个结论:①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC=∠DAB;④△.(把你认为正确结论的序号都填上)9、已知:如图2,△ABC中,AB=AC,CE⊥AE于E,,E在△ABC外,求证:∠ACE=∠B。10、如图△ABC中,AB=ACD为AC上任意一点,延长BA到E使得AE=AD连接DE,求证DE⊥BC11、已知:如图1,△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,E、F分别为AB、AC上的点,且BD=CF,CD=BE,G为EF的中点,求证:DG⊥、如图,以△ABC的边AB,AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG,DM、FN分别垂直直线BC于M、=FN,求证:∠ABC=∠ACB【巩固练****二】等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则周长是________。在△ABC中,已知AB=AC,AD是中线,∠B=70°,BC=15cm,则∠BAC=________,∠DAC=________,BD=________cm。在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,AB=3,A