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等腰三角形的分类讨论初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,就是因为这种特殊性,在具体处理问题时往往又会出现错误,因此,在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢?本文分以下几种情形讲述。°则其顶角为()° ° ° °或75°简析:75°角可能是顶角,也可能是底角。当75°是底角时,则顶角的度数为180°-75°×2=30°;当75°角是顶角时,则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。说明:对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解。,另一边等于6,则它的周长等于_________。简析:已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时,这个等腰三角形的底边长就是6,则此时等腰三角形的周长等于16;当6是腰长时,这个三角形的底边长就是5,则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。说明:对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。,求这个等腰三角形的底和腰的长。简析:已知条件并没有指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,因此,应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm,底边长为cm,可得或解得或即当腰长是6cm时,底边长是9cm;当腰长是8cm时,底边长是5cm。说明:这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。°,求这个等腰三角形的顶角的度数。简析:依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°,图2中顶角为135°。,计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。简析:在等腰ΔABC中,设AB=10,作CD⊥AB于D,由,可得CD=6。如下图,当AB为底边时,AD=DB=5,所以。如下图,当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时,,所以,。如下图,当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时,,,所以。说明:三角形的高是由三角形的形状决定的,对于等腰三角形,当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内;当顶角是钝角时,腰上的高在三角形外。,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。简析:按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。如图1,当交点在腰AC上时,ΔABC是锐角三角形,此时可求得∠A=40°,所以∠B=∠C=(180°-40°)=70°。如图2,当交点在腰CA的延长线上时,ΔABC为钝角三有形,此时可求得∠BAC=140°,所以∠B=∠C=(180°-140°)=20°故这个等腰三角形的底角为70°或20°。说明:这里的图2最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出所有可能的图形,这样才能正确解题。,AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根,第三边BC长为5。(1)为何值时,ΔABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)为何值时,ΔABC是等腰三角形,并求ΔABC的周长。简析:(1)经计算,⊿=1,x1=k+1,x2=k+2。由勾股定理得k=2。(2)若ΔABC是等腰三角形,则有AB=AC,AB=BC,AC=BC这三种情形。方程可化为,即,,显然,即。当AB=BC或AC=BC时,5是方程的根。当时,代入原方程可得,解得,。当时,原方程的解为,等腰ΔABC的三边长分别为5,5,4,周长为14。当时,原方程的解为,等腰ΔABC的三边长分别为5,5,6,周长为16。所以当或时,ΔABC是等腰三角形,周长分别为14或16。七、找点构造等腰三角形需讨论例8在直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,1);在坐标轴上确定一点P,使ΔAOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有()A、4个B、6个C、8个D、1个解:(1)、如图一,以OA为腰,以O为顶角顶点时,只须以O为圆心,以OA为半径作圆,与坐标轴分别交于P1()P2(),P3(),P4(),分别连接P1A,P2A,P3A,P4A,可得到四个等腰三角形ΔOAP1,ΔOAP2,ΔOAP3,ΔOAP4(2)、如图二,以OA为腰,以A为顶角顶点时,只须以A为圆心,以AO为半径作圆,与坐标轴分别交于P5(2,0)P6(0,2),分别连接P5