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数学思维导图勾股定理一、思维导图二、易错题1、满足a²+b²=c²的三个正整数,称为___,比如:5,12,___。解:勾股数;√5²+12²=132、在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是___。解:应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD=√(AB²-AD²)=√(15²-12²)=9,在Rt△ACD中,CD=√(AC²-AD²)=√(13²-12²)=5,∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为:15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,高AD交BC延长线于D在Rt△ABD中,BD=√(AB²-AD²)=√(15²-12²)=△ACD中,CD=√(AC²-AD²)=√(13²-12²)=5∴BC=9-5=4∴△ABC的周长为:15+13+4=32综上,当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带,如图(灯罩的俯视图),已知灯罩高108cm,底面周长为36cm,如果在灯罩侧面缠绕彩带4圈,最少需要彩纸多长?那么绕n圈呢?解:(1)∵缠绕灯罩4圈,且高108cm∴一圈高:108÷4=27cm∴一圈彩带长:√27²+√36²=45cm∴四圈彩带总长:45×4=180cm(2)∵绕n圈,且高108cm∴一圈高:108÷n(cm)∴一圈彩带长:√(108÷n)²+36²∴彩带总长:n×√(108÷n)²+36²=36×√n²+94、在正方形ABCD中,E是BC中点,F为CD上一点,且DF=3CF,判断AE和EF的位置关系。证:连AF。设DF=3x,CF=x∴AD=AB=DC=BC=x+3x=4x∴BE=EC=2x∵∠B=∠C=∠D=90°∴AE²=(2x)2+(4x)2=20x²EF²=x²+(2x)²=5x²AF²=(3x)²+(4x)²=25²∴AE²+EF²=AF²∴AE⊥EF5、如图,在△ABC中,∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P,使P到各边距离相等。与AC,CB,AB的交点为G,F,E。则这个距离为___。解:∵∠B=90°∴AC=√AB²+BC²=√7²+24²=25连CP,PA,BP,设GA=x,则EA=xBE=7-x=EB,CF=CG=17+x∴17+x+x=25x=4∴这个距离为7-4=36、在△ABC中,∠B=°,∠C=60°,AB的垂直平分线交BC于D,BD²=72,AE⊥BC于E,求EC²。解:∵AB的中垂线为FD∴∠B=°=∠BAD,∴∠ADC=45°,∴DE=EABD²=AD²=72,∵AE⊥DC,∴AE²+DE²=72∴AE²=DE²=36∵∠C=60°,∴∠EAC=30°设EC²=x²,则AC²=(2EC)²=4x²X²+36=4x²X²=12∴EC²=127、正方形ABCD的边长为8,M在AB上,BM=2,对角线AC上有一动点P,求PM+PB的最小值。解:连接MD。做M关于AC的对称点E交AD于E。∵MB=2∴ED=2最小值为BE。∵∠A=90°∴BE=√(8-2)²+8²=10∴PM+PB最小值为108、,顶端A靠在墙AC上。,,求梯子顶端A向下滑动了多少米?解∵∠C=90°,∴AB²=AC²+BC²,DE²=EC²+CD²∴²=AC²+²,²=EC²+(+)²,∴AC=2m,EC=,∴AE=AC-EC==(m),9、将一根长24cm的筷子置于底面直径5cm,高12cm的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外的长度为h(cm),则h的取值范围是___。解:当筷子与杯底垂直时h最大,h最大=24-12=,此时,杯内筷子长=√5²+12²=13cm∴h=24-13=11cm.∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm10、一张矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,折叠后,使得点D与点B重合,C与G重合,求折叠后BE的长和折痕EF的长。解:∵折叠后D与B重合∴ED=BECF=CG,AB=DC=3cm设FC=x(cm),则BF=9-xcm,GF=x(cm)∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠G=90°∴BF²=BG²+GF²(9-x)²=3²+x²∴x=4BF=9-4=5cm又∠BEF=∠DEF=∠EFB∴BE=BF=5cm作FH⊥AD交AD于H,FC=HD=3,EH=9-3-5=1cm∵∠FHE=90°∴EF=√1²+3²=√10(cm)三、思考题如图,△ABC为等腰三角形,C为直角顶点,D1,D2,D3......Dn-1是CB边上的n等分点,从C作AD1的垂线,分别交AD1,AD2,AD3........ADn-1AB于P1,P2,P3,......Pn-1