2019全国中考数学分类汇编48 几何最值.docx

48几何最值一、选择题12.(2019·长沙)如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是【】【答案】B二、填空题16.(2019·黄冈)如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=∠CMD=120°,则CD的最大值是.【答案】14【解析】将△CAM沿CM翻折到△CA′M,将△DBM沿DM翻折至△DB′M,则A′M=B′M,∠AMC=∠A′MC,∠DMB=∠DMB′,∵∠CMD=120°,∴∠AMC+∠DMB=∠A′MC+∠DMB′=60°,∴∠A′MB′=180°-(∠AMC+∠DMB+∠A′MC+∠DMB′)=60°,∴△A′MB′是等边三角形,又∵AC=2,BD=8,AB=,∴A′B′=A′M=B′M=AM=AB=4,CA′=AC=2,DB′=DB=8,又CD≤CA′+A′B′+DB′=2+4+8=、解答题24.(2019山东威海,24,12分)如图,在正方形ABCD中,AB=10cm,E为对角线BD上一动点,连接AE,CE,过E点作EF⊥AE,,沿着BD方向以每秒2cm的速度运动,当点E与点D重合时,运动停止,设△BEF的面积为ycm2,E点的运动时间为x秒.(1)求证:CE=EF;(2)求y与x之间关系的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)求△BEF面积的最大值.【解题过程】(1)证明:过E作MN∥AB,交AD于M,交BC于N,∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AB⊥AD,∴MN⊥AD,MN⊥BC,∴∠AME=∠FNE=90°=∠NFE+∠FEN,∵AE⊥EF,∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°,∴∠AEM=∠NFE,∵∠DBC=45°,∠BNE=90°,∴BN=EN=AM.∴△AEM≌△EFN(AAS).∴AE=EF.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS),∴AE=CE=EF.(2)在Rt△BCD中,由勾股定理得:BD==10,∴0≤x≤,得BE=2x,∴BN=EN=(1)知:△AEM≌△EFN,∴ME=FN,∵AB=MN=10,∴ME=FN=10-x,如图(1),当0≤x≤时,∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x.∴y=BF·EN==-2x2+x(0≤x≤);如图(2),当<x≤时,∴BF=BN-FN=x-(10-x)=x-10,∴y=BF·EN==2x2-x(≤x≤).∴(1)(2)(3)y=-2x2+5x=-2(x-)2+,∵-2<0,∴当x=时,y有最大值是;即△BEF面积的最大值是;当<x≤时,y=2x2-x=-,此时2>0,开口向上,对称轴为直线x=,∵对称轴右侧,y随x的增大而增大,∴当x=时,y最大值=50.∴当x=时,△BEF面积的最大值是50.【知识点】四边形综合运用,二次函数的解析式,二次函数的最值问题,.(2019山东省威海市,题号25,分值12)(1)方法选择如图①,四边形ABCD是OO的内接四边形,连接AC,=BC=:BD=AD+:在DB上截取DM=AD,连接AM..……小军认为可用补短法证明:延长CD至点N,使得DN=AD……请你选择一种方法证明.(2)类比探究【探究1】如图②,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,⊙O的直径,AB=,BD,CD之间的数量关系,并证明你的结论.【探究2】如图③,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,⊙O的直径,∠ABC=30°,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是.(3)拓展猜想如图④,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,,BC:AC:AB=a:b:c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是.【思路分析】(1)选小颖的截长法,如图①,在DB上截取DM=AD,连接AM,由旋转全等得BM=CD,∴BD=MD+BM=AD+CD(2)【探究1】数量关系为:BD=AD+CD如图②,在DB上截取AD=AN,连接AN,可得△AND为等腰直角三角形,∴ND=AD,由旋转全等得BN=CD,∴BD=ND+BN=AD+CD【探究2】数量关系为:BD=2AD+CD如图③,在DB上截取2AD=PD,连接AP,可得△APD为30°的直角三角形,由旋转相似得BP=CD,∴BD=PD+BP=2AD+CD(3)拓展猜想数量关系为:BD=AD+CD如图④,过A作AQ⊥AD交BD于Q,连接AQ,由旋转相似得,,∴BQ=CD,BQ=