伽罗瓦理论1.doc

伽罗瓦理论---,,,:假设不可约,我们证是域。任取中的非零元,只需找到其逆即可。由于非零,则,即,又不可约,故,从而存在使得,为此我们有即,这说明。由的任意性知是域。另一方面假设是域。假设可约,(此处用代替)。则在中有分解式,且。下面说明是中非零元,否则则有,即,这与矛盾,故是中非零元。注意到,即是的零因子,这与假设是域矛盾(域是整环,无零因子)。#,是次首一不可约多项式(monicirreducible),设,其中,且设.(i)是域,且是同构于的的子域,因此可以看做是域的扩张.(ii)是在中的根.(iii)如果,且是的根,则.(iv)是中唯一的以为根的首一不可约多项式.(v)若将看做上的线性空间,则是的一组基,记为其维数,:(i)命题1已证是域,下找出于之间的同构。取环到其商环的自然同态,取其在下的限制,。下证明是于之间的同构。首先其是同态,且,即亦为满设,又是域,其理想只能是平凡理想,且是的理想,显然只能是,从而是单射,综上是于之间的同构.(ii)设,其中,在中把带入得,注意在带入时需利用(i)中的同构把的系数换作,于是我们有:即是在中的根.(iii)设,且是的根,假设,则)(不可约)存在使得,将其看做中的等式,且将带入得0=1,这显然是矛盾。故.(iv)设是中以为根的首一不可约多项式,由(iii)知,又不可约所以,为常数,又均为首一多项式故.(v)任取,对使用带余除法,存在使得,且或者,因为,这意味着。设其中,则在(ii)的证明中我们知道故,即。只需证线性无关,为此我们证明的表示是唯一的。假设,且定义,,若则得证。若非零,显然以为根,由(ii)得,,显然.#,则称为域的域扩张(fieldextension)记作。一个扩张称为有限扩张,如果可以作为上有限维线性空间。其维数记作,称为扩张