基本不等式教案模板.docx

基本不等式教案课题:§第1课时授课类型:新授课【教学目标】:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;:通过实例探究抽象基本不等式;:通过本节的学****体会数学来源于生活,提高学****数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】基本不等式的几何背景:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有。:一般的,:你能给出它的证明吗?证明:因为当所以,,)从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b,可得,通常我们把上式写作:2)从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明:要证(1)只要证a+b(2)要证(2),只要证a+b-0(3)要证(3),只要证(-)(4)显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。3)理解基本不等式的几何意义探究:课本第98页的“探究”在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB即CD=.这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述:、b的等差中项,看作是正数a、b的等比中项,那么该定理能够叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.,我们称为a、b的算术平均数,称为a、:、y都是正数,求证:(1)≥2;(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥:在运用定理:时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),:∵x,y都是正数∴>0,>0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0(1)=2即≥2.(2)x+y≥2>0x2+y2≥2>0x3+y3≥2>0∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.、b、c都是正数,求证(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc分析:对于此类题目,选择定理:(a>0,b>0)灵活变形,:∵a,b,c都是正数∴a+b≥2>0b+c≥2>0c+a≥2>0∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc即(a+b)(b+c)(c+a)≥,我们学****了重要不等式a2+b2≥2ab;两正数a、b的算术平均数(),几何平均数()及它们的关系(≥).它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学****它们的应用).我们还能够用它们下面的等价变形来解决问题:ab≤,ab≤():§第2课时授课类型:新授课【教学目标】:进一步掌握基本不等式;会应用此不等式求某些函数的最值;:通过两个例题的研究,进一步掌握基本不等式,并会用此定理求某些函数的最大、最小值。:引发学生学****和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】基本不等式的应用【教学难点】利用基本不等式求最大值、最小值。【教学过程】::如果a,b是正数,,:前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数。例1(1)用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?(2)段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解:(1)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为