椭圆、双曲线、抛物线练习题.doc

精讲精练【例】以抛物线的焦点为右焦点,:抛物线的焦点为,设双曲线方程为,,双曲线方程为【例】双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2,P为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则b2=_________。解:设F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2<50+2c2,∴c2<,又∵c2=4+b2<,∴b2<,∴b2=1。【例】当取何值时,直线:与椭圆相切,相交,相离?解:①代入②得化简得当即时,直线与椭圆相切;当,即时,直线与椭圆相交;当,即或时,直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2,且|M1M2|=,试求椭圆的方程。解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2,∴b2=4,设椭圆方程为①设过M1和M2的直线方程为y=-x+m ②将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 ③设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),则x0=(x1+x2)=,y0=-x0+m=。代入y=x,得,由于a2>4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=-,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为:=1。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程。解:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)由得(m+n)x2+2nx+n-1=0,Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即m+n-mn>0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,将m+n=2,代入得m·n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1。【例】已知圆C1的方程为,椭圆C2的方程为,C2的离心率为,如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解:由设椭圆方程为设又两式相减,得又即将由得解得故所有椭圆方程【例】过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程。解法一:由e=,得,从而a2=2b2,c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上。则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=-,又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,于是-=-1,kAB=-1,设l的方程为y=-x+1。右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=。∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=-x+1。解法二:由e=,从而a2=2b2,c=b。设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-。直线l:y=x过AB的中点(),则,解得k=0,或k=-1。若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=-1,直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同解法一。解法三:设椭圆方程为直线不平行于y轴,否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线,,,,,,,,,,,,,则,,,,所以所求的椭圆方程为:【例】如图,已知△P1OP2的面积为,P为线段P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程。解:以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由